Teilaufgabe c

Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\))

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Da die Strecke \([PQ]\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht, ist der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe a) ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

Der Punkt \(Q(1|1|-3{,}5) \in E\) dient als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}E \colon &\overrightarrow{PQ} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Q}) = 0 \\[0.8em] E \colon &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3{,}5 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{1 \cdot (x_{1} - 1) + 1 \cdot (x_{2} - 1) - 2{,}5 \cdot (x_{3} + 3{,}5) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{x_{1} - 1 + x_{2} - 1 -2{,}5x_{3} - 10{,}75 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{E \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{x_{1} + x_{2} - 2{,}5x_{3} - 10{,}75 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\), \(Q(1|1|-3{,}5)\)

 

\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} - 2{,}5 \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} Q \in E \colon 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 2{,}5 \cdot (-3{,}5) + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 10{,}75 + n_{0} &= 0 &&| - 10{,}75 \\[0.8em] n_{0} &= -10{,}75 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{1} + x_{2} - 2{,}5x_{3} - 10{,}75 = 0\]

 

Anmerkung:

Durch eine Multiplikation der Ebenengleichung  mit dem Faktor 4 (Äquivalenzumformung) erhält man das Kontrollergebnis der Angabe.

 

\[\begin{align*} &E \colon x_{1} + x_{2} - 2{,}5x_{3} - 10{,}75 = 0 &&| \cdot 4 \\[0.8em] &E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe b Teilaufgabe d »