Teilaufgabe a

Die Abbildung zeigt den Würfel \(ABCDEFG\) mit \(A(0|0|0)\) und \(G(5|5|5)\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und \(L(1|0|5)\).

Abbildung Geometrie 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Zeichnen Sie das Viereck \(IJKL\) in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Einzeichnen des Vierecks \(IJKL\)

\(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\), \(L(1|0|5)\)

 

Viereck IJKL

Viereck \(\textcolor{#cc071e}{IJKL}\)

 

Nachweis, dass das Viereck \(IJKL\) ein Trapez mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten ist

Anhand der Zeichnung des Vierecks \(IJKL\) ist zu erkennen, dass die Seiten \([JK]\) und \([IL]\) die zueinander parallelen Grundlinien des Trapezes sind, und dass die Seiten \([IJ]\) und \([KL]\) die gleichlangen gegenüberliegenden Seiten sein müssen. Somit ist nachzuweisen, dass \(\overrightarrow{JK} \parallel \overrightarrow{IL}\) und \(\overline{IJ} = \overline{KL}\) gilt.

 

\(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\), \(L(1|0|5)\)

 

\[\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{J} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{IL} = \overrightarrow{L} - \overrightarrow{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{IL} = 2 \cdot \overrightarrow{JK} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{IL} \parallel \overrightarrow{JK}\]

 

Also sind die Seiten \([JK]\) und \([IL]\) zueinander parallel.

\[\begin{align*} \overline{IJ} &= \vert \overrightarrow{IJ} \vert = \vert \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-3)^{2} + 5^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{35} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \overline{KL} &= \vert \overrightarrow{KL} \vert = \vert \overrightarrow{L} - \overrightarrow{K} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{1^{2} + (-5)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{35} \end{align*}\]

 

Also sind die Seiten \([IJ]\) und \([KL]\) gleichlang.

Das Viereck \(IJKL\) ist somit ein Trapez mit zwei gegenüberliegenden gleichlangen Seiten (gleichschenkliges Trapez).

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