Teilaufgabe 2d

Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als 64 Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt) eine Obergrenze vor (Signifikanzniveau). Unter dieser Bedingung können die Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich der Nullhypothese trennen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks bestimmt werden.

1. Nullhypothese benennen

In diesem Fall gibt die Aufgabenstellung die Nullhypothese vor.

„... soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %."

\(\Longrightarrow \quad H_{0} \colon p \leq 0{,}1\)

 

2. Zufallsgröße (Testgröße) einführen

Bei der Stichprobe mit 200 Personen mit Reservierung wird auf das Ereignis „Person mit Reservierung erscheint nicht zur Fahrt" geachtet. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gemäß der Nullhypothese mit \(p_{0} = 0{,}1\) konstant (vgl. Anmerkung 2).

\(X\): Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}1)\) binomialverteilt.

2. Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese vorformulieren

Der Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese lässt sich durch die Vergabe zunächst noch unbekannter Grenzen \(k\) und \(k + 1\) vorformulieren. Zusammen bilden beide Bereiche alle Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 200\}\) ab, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann.

Die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." \((H_{0} \colon p \leq 0{,}1)\) wird abgelehnt, wenn unter den 200 zufällig ausgewählten Personen tendenziell viele nicht zur Fahrt erscheinen.

 

\[ A = \{0, 1, \dots, k\} \qquad \textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{k + 1, \dots, 200\}}\]

 

3. Bedingung für den Signifikanztest aufstellen

Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\).

„... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{\alpha = 0{,}05}\)

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese trifft zu, wird aber irrtümlich abgelehnt.

\[\begin{align*}P(\text{Fehler 1. Art}) & \; \textcolor{#0087c1}{\leq \alpha} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{p_{0}}}^{n}(X \in \textcolor{#cc071e}{\overline{A}}) & \; \textcolor{#0087c1}{\leq \alpha} & &| \; \textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{k + 1, \dots, 200\}} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}1}}^{200}(X \textcolor{#cc071e}{\geq k +1}) & \; \textcolor{#0087c1}{\leq 0{,}05} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}1}^{200}(X \leq k) &\leq 0{,}05 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}1}^{200}(X \leq k) &\leq -0{,}95 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}1}^{200}(X \leq k) &\geq 0{,}95  \end{align*}\]

 

(vgl. Anmerkung 1)

 

4. Entscheidungsregel formulieren

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) lassen sich die Grenzen \(k\) und \(k + 1\) des Ablehnungs- bzw. Annahmebereich der Nullhypothese ermitteln.

Für den Parameter \(p = 0{,}1\) sucht man in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) der Tabelle \(n = 200\) denjenigen Wert \(P_{0{,}1}^{200}(X \leq k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(200;0{,}1;i)\), der mindestens \(0{,}95\) beträgt und notiert den zugehörigen Wert \(k\).

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 27 \quad \left(P_{0{,}1}^{200}(X \leq 27) = \sum \limits_{i\,=\,0}^{27}B(200;0{,}1;i) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}95657 \right)\]

 

Mit \(k = 27\) und \(k + 1 = 28\) kann der Annahme- und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese konkretisiert werden.

 

\[A = \{0, 1, \dots, 27\} \qquad \overline{A} = \{28, 29, \dots, 200\}\]

 

(vgl. Anmerkung 3)

 

Wenn von den 200 zufällig ausgewählten Personen mit Reservierung höchstens 27 Personen nicht zur Fahrt erscheinen, werden künftig pro Fahrt nicht mehr als 64 Reservierungen zugelassen.

oder

Wenn unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mit Reservierung mindestens 28 Personen nicht zur Fahrt erscheinen, werden künftig pro Fahrt mehr als 64 Reservierungen zugelassen.

 

Anmerkung 1:

Da der Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{k + 1, \dots, k\}\)  „rechts" der Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 200\}\) liegt, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest.

Für die Bearbeitung einer Aufgabe zum Thema Signifikanztest ist die Unterscheidung nach linksseitigem und rechtsseitigem Signifikanztest nicht zwingend erforderlich. Es sei denn, die Aufgabenstellung verlangt dies ausdrücklich. Entscheidend ist die Festlegung der Nullhypothese und des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese. Wie die Nullhypothese lautet, ergibt sich aus der Aufgabenstellung. Die Art der Nullhypothese lässt auf den Ablehnungsbereich der Nullhypothese schließen.

 

Anmerkung 2:

Bei einem Signifikanztest betrachtet man im Falle einer Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq p_{0}\) oder \(H_{0} \colon p \geq p_{0}\) den „Extremfall" \(p = p_{0}\), um den Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Damit ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art auch für \(p < p_{0}\) bzw. \(p > p_{0}\) nicht das Signifikanzniveau \(\alpha\) überschreitet.

Im Falle der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq 0{,}1\) genügt es also, den „Extremfall" \(p_{0} = 0{,}1\) zu betrachten.

 

Anmerkung 3:

Mit dem Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{28, 29, \dots, 200\}\) liegt die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bei:

 

\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{200}(X \geq 28) &= 1 - P_{0{,}1}^{200}(X \leq 27) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{}95657 \\[0.8em] &= 0{,}04343 \end{align*}\]

 

und damit unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\).

 

Rechtsseitiger Signifikanztest der Nullhypothese H₀: p ≥ 0,1 zum Signifikanzniveau α = 5 % bei einem Stichprobenumfang von n = 200 (verkürzte Darstellung bis k = 40)

Rechtsseitiger Signifikanztest der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}1\) zum Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\) bei einem Stichprobenumfang von \(n = 200\) (verkürzte Darstellung bis \(k = 40\))

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