Teilaufgabe 1c

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße \(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

\(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\)

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25; \frac{1}{6})\) binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\vert X - \mu \vert \leq \sigma) = P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\).

 

Erwartungswert \(E(X) = \mu\) berechnen

\[\mu = n \cdot p = 25 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{6}\]

 

Standardabweichung \(\sigma\) berechnen

\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{25 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{125}{36}} = \frac{5\sqrt{5}}{6}\]

 

Grenzen \(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\) berechnen

 

\[\mu - \sigma = \frac{25}{6} - \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 2{,}30\]

\[\mu + \sigma = \frac{25}{6} + \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 6{,}03\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\) berechnen

Mithilfe des Stochstischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

 

\[\begin{align*} P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(2{,}30 \leq X \leq 6{,}03) &&| \; X \in \mathbb N \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(3 \leq X \leq 6) \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 6) - P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}89077 - 0{,}18869 \\[0.8em] &= 0{,}70208 \\[0.8em] &\approx 70{,}2\,\% \end{align*}\]

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