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Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto x \cdot \ln{(x^{2})}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{h}\).

Geben Sie \(D_{h}\) an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}\]

 

Maximaler Definitionsbereich \(D_{h}\)

 

\[D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Begründung (nicht verlangt)

\[h(x) = x \cdot \ln{(\underbrace{x^{2}}_{\large{>\,0}})}\]

 

Der Faktor \(\ln{(x^{2})}\) schränkt den Definitionsbereich von \(h\) ein. Die natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Es gilt \(x^{2} > 0\) für \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\), woraus \(D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\) folgt.

 

Nachweis der Ableitungsfunktion \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\)

Der Nachweis erfolgt mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Ableitung einer Potenzfunktion.

 

\[h(x) = \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x^{2})}}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

\[\begin{align*} h'(x) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x^{2})}} + \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{x^{2}} \cdot 2x}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \\[0.8em] &= \ln{(x^{2})} + \frac{2\cancel{x^{2}}}{\cancel{x^{2}}} &&| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \ln{(x^{2})} + 2 \end{align*}\]

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