Teilaufgabe 1b

Lösung zu Teilaufgabe 1b

\[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

\(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt (hier Hochpunkt) des Graphen von \(h\) lautet:

\[h'(x) = 0\]

Da der gesuchte Hochpunkt im II. Quadranten liegt, kommen als Lösung der Gleichung nur negative \(x\)-Werte in Frage.

\[\begin{align*} h'(x) &= 0 &&|\; (x < 0) \\[0.8em] \ln{(x^{2})} + 2 &= 0 &&| -2 \\[0.8em] \ln{(x^{2})} &= -2 &&| \; e^{(\dots)}\; \text{(zur Basis}\;e\;\text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{(x^{2})}} &= e^{-2} &&| \; e^{\ln{x}} = x\; \left( \text{allg.:}\; a^{\log_{a}x} = x \right) \\[0.8em] x^{2} &= e^{-2} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] x^{2} &= \frac{1}{e^{2}} &&| \; \sqrt{\quad} \; \textcolor{#cc071e}{(x < 0)} \\[0.8em] x &= \textcolor{#cc071e}{\mathbf{-}}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} &&| \; \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\[0.8em] x &= -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \\[0.8em] x &= -\frac{1}{e} \end{align*}\]

\(x = -\frac{1}{e}\) ist im II. Quadranten die einzige mögliche Extremstelle des Graphen von \(h\). Also muss es sich hierbei um die \(x\)-Koordinate des gesuchten Hochpunkts handeln. Ein Nachweis der Art des Extrempunkts ist nicht notwendig.

\[\Longrightarrow \quad HoP\left(-\frac{1}{e}\Bigg|h\left(-\frac{1}{e}\right)\right)\]

\(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen:

\[\begin{align*} h\left(-\frac{1}{e}\right) &= -\frac{1}{e} \cdot \ln{ \left( -\frac{1}{e} \right)^{2}} &&\Bigg| \; \left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot \ln\left( \frac{1}{e^{2}} \right) &&\Bigg| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot \ln\left( e^{-2} \right) &&| \; \log_{a}(b^{n}) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot (-2) \cdot \ln e &&| \; \ln e = 1\; (\text{allg.:}\; \log_{a}a = 1) \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot (-2) \cdot 1 \\[0.8em] &= \frac{2}{e} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad HoP\left(-\frac{1}{e}\Bigg|\frac{2}{e}\right)\]