Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\).
(3 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\).
(3 BE)
\[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
\(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt (hier Hochpunkt) des Graphen von \(h\) lautet:
\[h'(x) = 0\]
Da der gesuchte Hochpunkt im II. Quadranten liegt, kommen als Lösung der Gleichung nur negative \(x\)-Werte in Frage.
\[\begin{align*} h'(x) &= 0 &&|\; (x < 0) \\[0.8em] \ln{(x^{2})} + 2 &= 0 &&| -2 \\[0.8em] \ln{(x^{2})} &= -2 &&| \; e^{(\dots)}\; \text{(zur Basis}\;e\;\text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{(x^{2})}} &= e^{-2} &&| \; e^{\ln{x}} = x\; \left( \text{allg.:}\; a^{\log_{a}x} = x \right) \\[0.8em] x^{2} &= e^{-2} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] x^{2} &= \frac{1}{e^{2}} &&| \; \sqrt{\quad} \; \textcolor{#cc071e}{(x < 0)} \\[0.8em] x &= \textcolor{#cc071e}{\mathbf{-}}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} &&| \; \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\[0.8em] x &= -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \\[0.8em] x &= -\frac{1}{e} \end{align*}\]
\(x = -\frac{1}{e}\) ist im II. Quadranten die einzige mögliche Extremstelle des Graphen von \(h\). Also muss es sich hierbei um die \(x\)-Koordinate des gesuchten Hochpunkts handeln. Ein Nachweis der Art des Extrempunkts ist nicht notwendig.
\[\Longrightarrow \quad HoP\left(-\frac{1}{e}\Bigg|h\left(-\frac{1}{e}\right)\right)\]
\(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen:
\[\begin{align*} h\left(-\frac{1}{e}\right) &= -\frac{1}{e} \cdot \ln{ \left( -\frac{1}{e} \right)^{2}} &&\Bigg| \; \left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot \ln\left( \frac{1}{e^{2}} \right) &&\Bigg| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot \ln\left( e^{-2} \right) &&| \; \log_{a}(b^{n}) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot (-2) \cdot \ln e &&| \; \ln e = 1\; (\text{allg.:}\; \log_{a}a = 1) \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} \cdot (-2) \cdot 1 \\[0.8em] &= \frac{2}{e} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad HoP\left(-\frac{1}{e}\Bigg|\frac{2}{e}\right)\]
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* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München