Teilaufgabe 3a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{m}(x) = m \cdot x; \; D_{g_{m}} = \mathbb R; \; m \in \mathbb R\]

 

Skizze von \(G_{f}\)

\(G_{f}\) ist eine um 4 Einheiten in positive \(y\)-Richtung verschobene Normalparabel.

Graph der Funktion f:x ↦ x² + 4

Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\)

 

Berechnung der Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\)

In der Aufgabenstellung heißt es: „... Koordinaten des gemeinsamen Punkts ...", was auf einen Berührpunkt hinweist.

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\]

 

1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen 

Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und \(G_{4}\) werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} f(x) &= g_{4}(x) \\[0.8em] x^{2} + 4 &= 4x &&| -4x \; \text{(quadratische Gleichung formulieren)} \\[0.8em] \underbrace{x^{2} - 4x + 4}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}} &= 0 &&| \; \text{2. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] \underbrace{(x - 2)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 0 \\[0.8em] x_{1,2} &= 2 \end{align*}\]

 

Oder mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):

 

\[x^{2} - 4x + 4 = 0\]

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = 2\]

 

\(y\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts berechnen:

Hierfür wird \(x = 2\) in einen der beiden Funktionsterme \(f(x)\) oder \(g_{4}(x)\) eingesetzt.

 

\[g_{4}(2) = 4 \cdot 2 = 8\]

oder

\[f(2) = 2^{2} + 4 = 4 + 4 = 8\]

 

Somit berühren sich \(G_{f}\) und \(G_{4}\) im Punkt \((2|8)\).

 

2. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden

Da die Aufgabenstellung auf einen Berührpunkt hinweist, lässt sich dessen \(x\)-Koordinate auch mithilfe der ersten Ableitungen von \(f\) und \(g_{4}\) berechnen.

In einen Berührpunkt haben die beiden sich berührenden Graphen dieselbe Steigung (Steigung der Tangente).

Die erste Ableitung \(f'\) bzw. \(g_{4}'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) bzw. \(G_{4}\). Somit gilt im Berührpunkt: \(f'(x) = g_{4}'(x)\).

\[f(x) = x^{2} + 4 \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 2x\]

\[g_{4}(x) = 4x \quad \Longrightarrow \quad g_{4}'(x) = 4\]

 

\[f'(x) = g_{4}'(x) \quad \Longleftrightarrow \quad 2x = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2\]

 

Die Berechnung der \(y\)-Koordinate erfolgt wie unter 1. Möglichkeit beschrieben.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3b »