mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe 3a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{m}(x) = m \cdot x; \; D_{g_{m}} = \mathbb R; \; m \in \mathbb R\]

 

Skizze von \(G_{f}\)

\(G_{f}\) ist eine um 4 Einheiten in positive \(y\)-Richtung verschobene Normalparabel.

Graph der Funktion f:x ↦ x² + 4

Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\)

 

Berechnung der Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\)

In der Aufgabenstellung heißt es: „... Koordinaten des gemeinsamen Punkts ...", was auf einen Berührpunkt hinweist.

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\]

 

1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen 

Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und \(G_{4}\) werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} f(x) &= g_{4}(x) \\[0.8em] x^{2} + 4 &= 4x &&| -4x \; \text{(quadratische Gleichung formulieren)} \\[0.8em] \underbrace{x^{2} - 4x + 4}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}} &= 0 &&| \; \text{2. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] \underbrace{(x - 2)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 0 \\[0.8em] x_{1,2} &= 2 \end{align*}\]

 

Oder mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):

 

\[x^{2} - 4x + 4 = 0\]

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = 2\]

 

\(y\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts berechnen:

Hierfür wird \(x = 2\) in einen der beiden Funktionsterme \(f(x)\) oder \(g_{4}(x)\) eingesetzt.

 

\[g_{4}(2) = 4 \cdot 2 = 8\]

oder

\[f(2) = 2^{2} + 4 = 4 + 4 = 8\]

 

Somit berühren sich \(G_{f}\) und \(G_{4}\) im Punkt \((2|8)\).

 

2. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden

Da die Aufgabenstellung auf einen Berührpunkt hinweist, lässt sich dessen \(x\)-Koordinate auch mithilfe der ersten Ableitungen von \(f\) und \(g_{4}\) berechnen.

In einen Berührpunkt haben die beiden sich berührenden Graphen dieselbe Steigung (Steigung der Tangente).

Die erste Ableitung \(f'\) bzw. \(g_{4}'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) bzw. \(G_{4}\). Somit gilt im Berührpunkt: \(f'(x) = g_{4}'(x)\).

\[f(x) = x^{2} + 4 \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 2x\]

\[g_{4}(x) = 4x \quad \Longrightarrow \quad g_{4}'(x) = 4\]

 

\[f'(x) = g_{4}'(x) \quad \Longleftrightarrow \quad 2x = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2\]

 

Die Berechnung der \(y\)-Koordinate erfolgt wie unter 1. Möglichkeit beschrieben.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3b »
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.