Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln{(2 - x^{2})}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\).

Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) in einem Koordinatensystem und geben Sie \(D_{g}\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[g(x) = \ln{(2 - x^{2})}\]

 

Skizze der Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\)

 

\[y = 2 - x^{2} = \textcolor{#cc071e}{\mathbf{-}}x^{2} \textcolor{#0087c1}{+ 2}\]

 

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete (Öffnungsfaktor - 1) und um 2 Einheiten in positive \(y\)-Richtung verschobene Normalparabel.

Parabel mit der Gleichung y = 2 - x²

Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\)

 

Maximale Definitionsmenge \(D_{g}\)

 

\[D_{g} =\; ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]

 

1. Halbgraphische Begründung (nicht verlangt)

 

\[g(x) = \ln{(\underbrace{2 - x^{2}}_{\textcolor{#0087c1}{\large{>\,0}}})}\]

Die (natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#0087c1}{\mathbb R^{+}}\) definiert.

Die Skizze der Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) zeigt, dass die Parabel zwischen deren Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse (im Positiven) verläuft.

Nullstellen der Parabel berechnen:

 

\[\begin{align*} 2 - x^{2} &= 0 &&| + x^{2} \\[0.8em] 2 &= x^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm\sqrt{2} &= x_{1,2}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{g} =\; \textcolor{#0087c1}{]-\sqrt{2};\sqrt{2}[}\]

Die Parabel mit der Gleichung y = 2 - x² verläuft zwischen deren Nullstellen oberhalb der x-Achse.

 

2. Rechnerische Begründung (nicht verlangt)

 

\[\begin{align*} 2 - x^{2} &> 0 &&| + x^{2} \\[0.8em] 2 &> x^{2} &&| \; \sqrt{\quad}\; \text{wobei} \; \sqrt{a^{2}} = \vert a \vert \; \text{mit} \; a \in \mathbb R \; \text{gilt} \\[0.8em] \sqrt{2} &> \vert x \vert \end{align*}\]

 

Die Betragsungleichung lässt sich durch Fallunterscheidung lösen.

 

1. Fall: \(x \geq 0\)

Für \(x \geq 0\) können die Betragsstriche entfallen.

 

\[\Longrightarrow \quad x < \sqrt{2}\]

 

2. Fall: \(x < 0\)

Für \(x < 0\) kann \(\vert x \vert\) durch \(-x\) ersetzt werden.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad - x &< \sqrt{2} &&| \cdot (-1) \; \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] x &\textcolor{#cc071e}{>} -\sqrt{2}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\]

\[\Longrightarrow \quad D_{g} = \;]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]

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