Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion \(g'\) von \(g\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Die Ableitungsfunktion \(g'\) lässt sich mithilfe der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Ableitung einer Potenzfunktion bilden.
\[g(x) = \ln{(2 - x^{2})}; \; D_{g} = ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]
Ableitungsregeln
| Erste Ableitung elementarer Funktionen (vgl. Merkhilfe) |
| Funktion \(f(x)\) | Ableitung \(f'(x)\) |
| Konstante Funktion | \(c \quad (c \in \mathbb R)\) | \(0\) |
| Potenzfunktion | \(x^{r} \quad (r \in \mathbb R)\) | \(r \cdot x^{r - 1}\) |
| Wurzelfunktion | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| Trigonometrische Funktionen | \(\sin{x}\) | \(\cos{x}\) |
| \(\cos{x}\) | \(-\sin{x}\) |
| \(\tan{x}\) | \(\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\) |
| Exponentialfunktionen | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(a^{x}\) | \((\ln{a}) \cdot a^{x}\) |
| Logarithmusfunktionen | \(\ln{x}\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\log_{a}(x)\) | \(\dfrac{1}{(\ln{a}) \cdot x}\) |
| Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe) |
| Faktorregel | \(\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\) |
| Summenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
| Produktregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
| Quotientenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\) |
| Kettenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
\[\begin{align*}g'(x) &= \frac{1}{2 - x^{2}} \cdot (0 - 2x) \\[0.8em] &= \frac{-2x}{2 - x^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{2x}{2 - x^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x}{x^{2} - 2} \end{align*}\]
