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Teilaufgabe 2b

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von \(G_{h}\) einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{10}^{20} h(x)dx\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

\[\begin{align*} \int_{10}^{20}h(x)dx &\approx \int_{10}^{20}(x - 7)dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{1}{2}x^{2} - 7x}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{10}}^{\textcolor{#e9b509}{20}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{20}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#e9b509}{20} - \left( \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{10}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#89ba17}{10} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 400 - 140 - \left( \frac{1}{2} \cdot 100 - 70 \right) \\[0.8em] &= 200 - 140 - (50 - 70) \\[0.8em] &= 60 - (-20) \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Flächenstück, welches der Graph von h im Intervall [10;20] mit der x-Achse einschließt.

Flächenstück, welches die schräge Asymptote des Graphen von h mit der Gleichung y = x - 7 im Intervall [10;20] mit der \(x\)-Achse einschließt.

Da sich \(G_{h}\) für \(x \to + \infty\) der schrägen Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) annähert (vgl. Teilaufgabe 2a), gilt näherungsweise:

 

\[\int_{10}^{20}h(x)dx \approx \int_{10}^{20} (x - 7)dx\]

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{10}^{20}(x - 7)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int (x - 7)dx\).

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\) und

\(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int c\,dx = cx + C}\)

ergibt sich:

\[\begin{align*}\int (\textcolor{#cc071e}{x} - \textcolor{#0087c1}{7})dx &= \textcolor{#cc071e}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}} - \textcolor{#0087c1}{7x} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^{2} + 7x + C\end{align*}\]

 

Somit ist die Funktion \(x \mapsto \dfrac{1}{2}x^{2} + 7x\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) (für \(C = 0\)) und es folgt:

\[\begin{align*} \int_{10}^{20}h(x)dx &\approx \int_{10}^{20}(x - 7)dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{1}{2}x^{2} - 7x}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{10}}^{\textcolor{#e9b509}{20}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{20}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#e9b509}{20} - \left( \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{10}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#89ba17}{10} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 400 - 140 - \left( \frac{1}{2} \cdot 100 - 70 \right) \\[0.8em] &= 200 - 140 - (50 - 70) \\[0.8em] &= 60 - (-20) \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]

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