Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}\). Ihr Graph wird mit \(G_{k}\) bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen von \(k\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(G_{k}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
\[k(x) = \frac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}; \; D_{k} = \mathbb R\]
Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\)
Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
\[\begin{align*}k(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{\textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x}}{2x^{2} + 4} &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad \enspace \textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x} &= 0 &&| \; x \; \text{ausklammern (Faktorisieren)} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{x \cdot (-x + 2)} &= 0 \end{align*}\]
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 0; \; x_{2} = 2\]
waagrechte Asymptote von \(G_{k}\): \(y = - 0{,}5\) (vgl. Angabe)
\[k(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x}}{\textcolor{#e9b509}{2x^{2} + 4}}; \; D_{k} = \mathbb R\]
Da das Zählerpolynom und das Nennerpolynom vom selben Grad sind (Grad 2), besitzt der Graph \(G_{k}\) der gebrochenrationalen Funktion \(k\) eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\mathbf{x}\)-Achse.
Die Gleichung der waagrechten Asymptote lässt sich mithilfe des Quotienten der Faktoren der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms ermitteln.
\[k(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{(-1) \cdot x^{2}}^{\text{Faktor -1}}} + 2x}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{2 \cdot x^{2}}_{\text{Faktor 2}}} + 4}; \; D_{k} = \mathbb R\]
\[\Longrightarrow \quad y = \frac{\textcolor{#cc071e}{-1}}{\textcolor{#e9b509}{2}} = -0{,}5\]
\(G_{k}\) besitzt also die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote.
Die waagrechte Asymptote von \(G_{k}\) bestimmt das Verhalten von \(G_{k}\) im Unendlichen \((x \to \pm \infty)\).
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \,\pm\infty}k(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty}k(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{-x^{2} + 2x}{2\textcolor{#e9b509}{x^{2}} + 4} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left(-1 + \frac{2}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 2 + \frac{4}{x^{2}} \right)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{-1 + \overbrace{\frac{2}{x}}^{\to\,0}}{2 + \underbrace{\frac{4}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= -0{,}5 \end{align*}\]
\(G_{k}\) besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote.
