mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe 4

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \([0{,}8; +\infty[\) definierten Funktion f.

Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2020

Betrachtet wird zudem die in \([0{,}8; +\infty[\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\).

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von \(J\) in der Abbildung 2.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

\[J(x) = \int_{2}^{x}f(t)dt\]

 

Begründung mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt 

Näherungsweise Bestimmung des Funktionswerts J(1)

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{1}^{2}f(t)dt\) errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, welches \(G_{f}\) im Intervall \([1;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dieses Flächenstück ist näherungsweise flächeninhaltsgleich einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 1 FE (4 Kästchen a 0,25 FE), das in \(x\)-Richtung im selben Maße um \(\textcolor{#cc071e}{A_{1}}\) zu groß ist wie es in \(y\)-Richtung um \(\textcolor{#cc071e}{A_{2}}\) zu klein ist \((\textcolor{#cc071e}{A_{1} \approx A_{2}})\).

 

\[\Longrightarrow \quad \int_{1}^{2}f(t)dt \approx 1\]

Da \(G_{f}\) im Bereich \(1 \leq x \leq 2\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, aber mit \(\displaystyle J(1) = \int_{2}^{1}f(t)dt\) „nach links" integriert wird, bzw. weil \(\displaystyle J(1) = \int_{2}^{1}f(t) = -\int_{1}^{2}f(t)dt\) gilt (Vertauschungsregel), ist der Funktionswert \(J(1)\) negativ.

 

\[\Longrightarrow \quad J(1) = \int_{2}^{1}f(t)dt = -\int_{1}^{2}f(t)dt \approx -1\]

 

Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\)

 

\[J(4{,}5) \approx 1{,}5\]

 

Begründung (nicht verlangt)

Näherungsweise Berechnung des Funktionswerts J(4,5) durch „Kästchen zählen"

Das bestimmte Integral \(\displaystyle J(4{,}5) = \int_{2}^{4{,}5}f(t)dt\) errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, welches \(G_{f}\) im Intervall \([2;4{,}5]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Da \(G_{f}\) im Bereich \(2 \leq x \leq 4{,}5\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Funktionswert \(J(4{,}5)\) positiv.

Durch „Kästchen zählen" ergibt sich näherungsweise:

 

\[J(4{,}5) = \int_{2}^{4{,}5}f(t)dt \approx 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5\]

 

Skizze des Graphen von \(J\) in Abbildung 2

Verlauf des Graphen der Integralfunktion J

Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle J(x) = \int_{2}^{x}f(t)dt; \; D_{J} = [0{,}8;+\infty[\)

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Für das Skizzieren des Graphen der Integralfunktion \(J\) eignet sich insbesondere

● die Betrachtung der Nullstelle von \(G_{f}\),

● die Betrachtung des Hochpunkts von \(G_{f}\),

● die Betrachtung der Nullstelle von \(J\) sowie

● die Betrachtung des asymptotischen Verlaufs von \(G_{f}\) für \(x \to +\infty\).

 

Betrachtung der Nullstelle von \(G_{f}\)

Betrachtung der Nullstelle des Graphen der Funktion f

Abbildung 2 zeigt, dass \(x \approx 1\) eine Nullstelle von \(G_{f}\) ist.

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, ist die Integralfunktion \(J\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) und es gilt näherungsweise:

\[J'(1) = f(1) = 0\]

Folglich hat \(\textcolor{#0087c1}{G_{J}}\) an der Stelle \(x \approx 1\) eine waagrechte Tangente (Tangentensteigung ist Null).

Da \(x \approx 1\) zudem eine Nullstelle von \(f\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) ist, folgt mithilfe des Monotoniekriteriums, dass \(\textcolor{#0087c1}{G_{J}}\) an der Stelle \(x \approx 1\) das Monotonieverhalten von „streng monoton fallend" nach „streng monoton steigend" wechselt. Also hat \(\textcolor{#0087c1}{G_{J}}\) an der Stelle \(x \approx 1\) einen Tiefpunkt.

Mit \(J(1) \approx -1\) (vgl. oben) folgt: Tiefpunkt \(TiP(1|-1)\).

 

\[\left. \begin{align*} &f(x) = J'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < 1 \\ &f(1) = J'(1) = 0 \\ &f(x) = J'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > 1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\text{Tiefpunkt} \; TiP\,(1|J(-1))}\]

 

Wegen des eingeschränkten Definitionsbereichs \(D_{J} = [0{,}8;+\infty[\) beginnt der Verlauf des Graphen \(G_{J}\) an der Stelle \(x = 0{,}8\).

 

Betrachtung des Hochpunkts von \(G_{f}\) 

Betrachtung des Hochpunkts des Graphen von f

Gemäß Abbildung 2 besitzt \(G_{f}\) an der Stelle \(x \approx 1{,}5\) einen Hochpunkt.

Im Hochpunkt hat \(G_{f}\) die Steigung Null (Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) ist Null, waagrechte Tangente). Da \(f'\) die Steigung von \(G_{f}\) beschreibt und nach dem Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung \(J'(x) = f(x)\) bzw. \(J''(x) = f'(x)\) gilt, folgt näherungsweise:

\[J''(1{,}5) = f'(1{,}5) = 0\]

Da sich in der Umgebung des Hochpunkts von \(G_{f}\) die Steigung von „positiv" \(f'(x) = J''(x) > 0\) nach „negativ" \(f'(x) = J''(x) < 0\) ändert, wechselt \(\textcolor{#0087c1}{G_{J}}\) an der Stelle \(x \approx 1{,}5\) das Krümmungsverhalten von linksgekrümmt \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{ \textcolor{#0087c1}{\curvearrowleft}}\) nach rechtsgekrümmt \(\textcolor{#0087c1}{\curvearrowright}\). Also hat \(\textcolor{#0087c1}{G_{J}}\) an der Stelle \(x \approx 1{,}5\) einen Wendepunkt.

\[\left. \begin{align*} &f'(x) = J''(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 1{,}5 \\ &f'(1{,}5) = J''(1{,}5) = 0 \\ &f'(x) = J''(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 1{,}5 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\text{Wendepunkt} \; W\,(1{,}5|J(1{,}5))}\]

 

Die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts lässt sich näherungsweise mithilfe von \(G_{f}\) berechnen.

Das Flächenstück, das \(G_{f}\) im Intervall \([1{,}5;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt ist ca. 2,25 Kästchen a 0,25 FE groß. Damit ergibt sich:

\[\begin{align*}J(1{,}5) &= \int_{2}^{1{,}5}f(t)dt \\[0.8em] &= - \textcolor{#0087c1}{\int_{1{,}5}^{2}f(t)dt} \\[0.8em] &\approx - \textcolor{#0087c1}{2{,}25 \cdot 0{,}25} \\[0.8em] &\approx -0{,}6\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{W(1{,}5)|-0{,}6)}\]

 

Betrachtung der Nullstelle von \(J\)

Nullstelle der Integralfunktion J

Jede Integralfunktion hat an der unteren Integrationsgrenze eine Nullstelle. Somit hat die Integralfunktion \(\displaystyle J(x) = \int_{2}^{x}f(t)dt\) die Nullstelle \(x = 2\). 

\[J(2) = \int_{2}^{2}f(t)dt = F(2) - F(2) = 0\]

 

Betrachtung des asymptotischen Verlaufs von \(G_{f}\) für \(x \to +\infty\)

Betrachtung des asymptotischen Verlaufs des Graphen von f für x ↦ +∞

Für \(x \to +\infty\) nähert sich \(G_{f}\) der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 0{,}5\) an.

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(f(x) = J'(x)\). Insbesondere gilt für \(x \to +\infty\) somit \(f(x) = J'(x) = 0{,}5\). 

Da \(J'(x)\) die Steigung von \(G_{J}\) (Steigung einer Tangente an \(G_{J}\)) beschreibt, verläuft \(G_{J}\) ab \(x \approx 4\) näherungsweise wie eine Gerade mit der konstanten Steigung \(m = 0{,}5\).

 

Zusammenfassung

Der Graph \(G_{J}\) der Integralfunktion \(J\) hat

● näherungsweise den Tiefpunkt \(TiP(1|-1)\),

● näherungsweise den Wendepunkt \(W(1{,}5|-0{,}6)\),

● genau die Nullstelle \(x = 2\) sowie

● näherungsweise ab \(x \approx 4\) den Verlauf einer Geraden mit der Steigung \(m = 0{,}5\).

Verlauf des Graphen der Integralfunktion J mit Tiefpunkt, Wendepunkt, Nullstelle und Verhalten für x ↦ +∞

Verlauf des Graphen der in \([0{,}8;+\infty[\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x}f(t)dt\) mit Tiefpunkt \(TiP(1|-1)\), Wendepunkt \(W(1{,}5|-0{,}6)\), Nullstelle \(x = 2\) und konstanter Steigung \(m = 0{,}5\) für \(x \to +\infty\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3b
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.