Teilaufgabe 1a

Gegeben sind die Punkte \(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\) und \(Q(q|1|5)\) mit der reellen Zahl \(q\), wobei \(Q\) von \(P\) genauso weit entfernt ist wie von \(R\).

Bestimmen Sie \(q\).

(zur Kontrolle: \(q = -2\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a 

Der Punkt Q liegt auf der Mittelsenkrechten m der Strecke [PR].

Der Punkt \(Q\) liegt auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\).

Es gilt: \(\overline{PQ} = \overline{RQ}\)

\(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\), \(Q(q|1|5)\)

 

\[\begin{align*} \overline{PQ} &= \overline{RQ} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{PQ} \vert &= \vert \overrightarrow{RQ} \vert \\[0.8em] \vert \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P} \vert &= \vert \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{R} \vert \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} q \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} q \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} q + 2 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} q - 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{(q + 2)^{2} + (-2)^{2} + 5^{2}} &= \sqrt{(q - 2)^{2} + 2^{2} + 3^{2}} &&|\;(\dots)^{2}\; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] \underbrace{(q + 2)^{2}}_{(a\,+\,b)^{2}} + (-2)^{2} + 5^{2} &= \underbrace{(q - 2)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} + 2^{2} + 3^{2} &&|\; \text{1./2. Binom. Formel} \\[0.8em] \underbrace{q^{2} + 4q + 4}_{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}} + 4 + 25 &= \underbrace{q^{2} - 4q + 4}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}} + 4 + 9 - q^{2} \\[0.8em] 4q + 33 &= -4q +17 &&| + 4q - 33 \\[0.8em] 8q &= -16 &&| : 8 \\[0.8em] q &= -2 \end{align*}\]

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