Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist.
(2 BE)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist.
(2 BE)
Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl. Teilaufgabe 1a). Er ist beispielsweise der Bildpunkt einer Verschiebung von \(\textcolor{#cc071e}{P}\) um den Verbindungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR}}\) oder einer Verschiebung von \(\textcolor{#cc071e}{R}\) um den Verbindungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QP}}\).
Es gilt: \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{QP}}\)
Damit lässt sich der Ortsvektor \(\overrightarrow{S}\) des Punktes \(S\) durch Vektoraddition wie folgt berechnen:
\(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\), \(Q(-2|1|5)\) (\(q = -2\), vgl. Teilaufgabe 1a)
\[\begin{align*}\overrightarrow{S} &= \overrightarrow{P} + \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS}} &&| \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}} \\[0.8em] &= \overrightarrow{P} + \overrightarrow{QR} \\[0.8em] &= \overrightarrow{P} + (\overrightarrow{R} - \overrightarrow{Q}) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] & = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S(2|1|-3)\]
oder
\[\begin{align*}\overrightarrow{S} &= \overrightarrow{R} + \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS}} &&| \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{QP}} \\[0.8em] &= \overrightarrow{R} + \overrightarrow{QP} \\[0.8em] &= \overrightarrow{R} + (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S(2|1|-3)\]
Die Raute \(PQRS\) ist kein Quadrat, wenn einer der Innenwinkel ungleich 90° ist, beispielsweise wenn der Winkel \(\textcolor{#cc071e}{\measuredangle RQP}\) ungleich 90° ist. Dies ist dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QP}}\) ungleich Null ist
\(\overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}\); \(\overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (vgl. oben)
\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR} \circ \overrightarrow{QP}} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5) \\[0.8em] &= 11 \textcolor{#cc071e}{\neq 0} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{\measuredangle RQP \neq 90^{\circ}}\]
Also ist die Raute \(PQRS\) kein Quadrat.
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Mathematik Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant
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* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München