Teilaufgabe 1b

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Koordinaten des Eckpunkts \(S\)

Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl. Teilaufgabe 1a). Er ist beispielsweise der Bildpunkt einer Verschiebung von \(\textcolor{#cc071e}{P}\) um den Verbindungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR}}\) oder einer Verschiebung von \(\textcolor{#cc071e}{R}\) um den Verbindungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QP}}\).

Es gilt: \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{QP}}\)

Damit lässt sich der Ortsvektor \(\overrightarrow{S}\) des Punktes \(S\) durch Vektoraddition wie folgt berechnen:

\(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\), \(Q(-2|1|5)\) (\(q = -2\), vgl. Teilaufgabe 1a)

\[\begin{align*}\overrightarrow{S} &= \overrightarrow{P} + \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS}} &&| \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}} \\[0.8em] &= \overrightarrow{P} + \overrightarrow{QR} \\[0.8em] &= \overrightarrow{P} + (\overrightarrow{R} - \overrightarrow{Q}) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] & = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad S(2|1|-3)\]

oder

\[\begin{align*}\overrightarrow{S} &= \overrightarrow{R} + \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS}} &&| \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{QP}} \\[0.8em] &= \overrightarrow{R} + \overrightarrow{QP} \\[0.8em] &= \overrightarrow{R} + (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad S(2|1|-3)\]

Nachweis, dass die Raute \(PQRS\) kein Quadrat ist

Die Raute \(PQRS\) ist kein Quadrat, wenn einer der Innenwinkel ungleich 90° ist, beispielsweise wenn der Winkel \(\textcolor{#cc071e}{\measuredangle RQP}\) ungleich 90° ist. Dies ist dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QP}}\) ungleich Null ist

\(\overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}\); \(\overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (vgl. oben)

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{QR} \circ \overrightarrow{QP}} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5) \\[0.8em] &= 11 \textcolor{#cc071e}{\neq 0} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{\measuredangle RQP \neq 90^{\circ}}\]

Also ist die Raute \(PQRS\) kein Quadrat.