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Teilaufgabe b

Ein grüner Würfel und ein roter Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen. Geben Sie alle Werte an, die die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann, und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Alle Werte der Zufallsgröße \(X\)

 

\[x_{i} = \{2; 4; 7; 9; 12\}\]

 

Begründung (nicht verlangt)

grüner Würfel: 5 Seitenflächen mit Augenzahl 1, eine Seitenfläche mit Augenzahl 6

roter Würfel: je 2 Seitenflächen mit den Augenzahlen 1, 3 bzw. 6

Zufallsgröße \(X\): Summe der beiden geworfenen Augenzahlen

Das vorliegende Zufallsexperiment „Ein grüner Würfel und ein roter Würfel werden gleichzeitig geworfen" lässt sich als zweistufiges Zufallsexperiment auffassen. Die 1. Stufe betrachtet die Augenzahl des grünen Würfels, die zweite Stufe die Augenzahl des roten Würfels (oder umgekehrt).

 

Baumdiagramm: Ein grüner und ein roter Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen.

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms

 

\[\Longrightarrow \quad x_{i} = \{2; 4; 7; 9; 12\}\]

 

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\)

Baumdiagramm: Ein grüner und ein roter Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen. 

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms

Mithilfe der ersten und der zweiten Pfadregel ergibt sich:

\[\begin{align*} P(X = 7) &= \underbrace{P(\textcolor{#89ba17}{1};\textcolor{#cc071e}{6}) + P(\textcolor{#89ba17}{6};\textcolor{#cc071e}{1})}_{\large{\text{2. Pfadregel}}} \\[0.8em] &= \underbrace{\textcolor{#89ba17}{\frac{5}{6}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}} + \underbrace{\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{6}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}} \\[0.8em] &= \frac{5}{18} + \frac{1}{18} \\[0.8em] &= \frac{6}{18} \\[0.8em] &= \frac{1}{3}\end{align*}\]

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