Teilaufgabe b

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von \(p\) die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 3 hat.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

Baumdiagramm: Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen.

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen.

 

In Abhängigkeit von \(p\) ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

\(X = x_{i}\)\(2\)\(4\)\(6\)
\(P(X = x_{i})\)\(p^{2}\)\(2p \cdot (1 - p)\)\((1 - p)^{2}\)

(\(P(X = 4) = 2p \cdot (1 - p)\); vgl. Teilaufgabe a)

Der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) soll den Wert 3 annehmen.

\[\begin{align*} E(X) &= 3 \\[0.8em] 2 \cdot p^{2} + 4 \cdot 2p \cdot (1 - p) + 6 \cdot \underbrace{(1 - p)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 3 &&| \; \text{2. Binom. Formel} \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 \cdot (\underbrace{1 - 2p + p^{2}}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}}) &= 3 \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 - 12p + 6p^{2} &= 3 \\[0.8em] -4p + 6 &= 3 &&| - 6 \\[0.8em] -4p &= -3 &&| : (-4) \\[0.8em] p &= \frac{3}{4} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Mit \(p = \frac{3}{4}\) hat der Sektor des Glücksrads mit der Zahl 1 einen Mittelpunktswinkel von 270° (Dreiviertelkreis) und der Sektor mit der Zahl 3 einen Mittelpunktswinkel von 90° (Viertelkreis).

Glücksrad für p = ¾

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