Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von \(p\) die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 3 hat.
(4 BE)
Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von \(p\) die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 3 hat.
(4 BE)
Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen.
In Abhängigkeit von \(p\) ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
\(X = x_{i}\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
\(P(X = x_{i})\) | \(p^{2}\) | \(2p \cdot (1 - p)\) | \((1 - p)^{2}\) |
(\(P(X = 4) = 2p \cdot (1 - p)\); vgl. Teilaufgabe a)
Der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) soll den Wert 3 annehmen.
\[\begin{align*} E(X) &= 3 \\[0.8em] 2 \cdot p^{2} + 4 \cdot 2p \cdot (1 - p) + 6 \cdot \underbrace{(1 - p)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 3 &&| \; \text{2. Binom. Formel} \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 \cdot (\underbrace{1 - 2p + p^{2}}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}}) &= 3 \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 - 12p + 6p^{2} &= 3 \\[0.8em] -4p + 6 &= 3 &&| - 6 \\[0.8em] -4p &= -3 &&| : (-4) \\[0.8em] p &= \frac{3}{4} \end{align*}\]
Anmerkung:
Mit \(p = \frac{3}{4}\) hat der Sektor des Glücksrads mit der Zahl 1 einen Mittelpunktswinkel von 270° (Dreiviertelkreis) und der Sektor mit der Zahl 3 einen Mittelpunktswinkel von 90° (Viertelkreis).
Wegen der Corona Pandemie sind einige Inhalte für die schriftliche Mathematik Abiturprüfung 2021 nicht prüfungsrelevant.
„... bedeutet nicht, dass diese Inhalte im Unterricht nicht zu behandeln sind, sie können ggf. auch zum Gegenstand kleiner und großer Leistungsnachweise gemacht werden." (Zitat ISB*)
Mathematik Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant
Entsprechendes gilt für andere Prüfungsfächer:
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* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München