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Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\).

Abbildung 1 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\). Bestimmen Sie diejenigen \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Rechnerischer Nachweis, dass \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse symmetrisch ist

Es ist nachzuweisen, dass \(f(-x) = f(x)\) gilt.

\[f(-x) = \frac{(-x)^{2} - 1}{(-x)^{2} + 1} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = f(x)\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse.

 

Untersuchung des Verhaltens von \(f\) für \(x \to +\infty\) anhand des Funktionsterms

 

1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Da das Zählerpolynom und das Nennerpolynom vom selben Grad sind (Grad 2), besitzt der Graph \(G_{f}\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\) eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\mathbf{x}\)-Achse.

Die Gleichung der waagrechten Asymptote lässt sich mithilfe des Quotienten der Faktoren der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms ermitteln.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{1 \cdot x^{2}}^{\text{Faktor 1}}} - 1}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{1 \cdot x^{2}}_{\text{Faktor 1}}} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[\Longrightarrow \quad y = \frac{\textcolor{#cc071e}{1}}{\textcolor{#e9b509}{1}} = 1\]

 

Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).

 

2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to +\infty\)

Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x^{2} - 1}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} + 1} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1 - \overbrace{\frac{1}{x^{2}}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]

 

Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).

 

Bestimmung der \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0{,}96 \\[0.8em] \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} &= 0{,}96 &&| \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96 \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96x^{2} + 0{,}96 &&| -0{,}96x^{2} + 1 \\[0.8em] 0{,}04x^{2} &= 1{,}96 &&| : 0{,}04 \\[0.8em] x^{2} &= 49 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \Longrightarrow \enspace x_{1} &= -7; \; x_{2} = 7 \end{align*}\]

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