Teilaufgabe 1b

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten Ableitung \(f'\) beurteilen.

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{{(\textcolor{#0087c1}{2x - 0})} \cdot (\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}) - (\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}) \cdot (\textcolor{#cc071e}{2x + 0})}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot [x^{2} + 1 - (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot (x^{2} + 1 - x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot 2}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{\underbrace{(x^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \end{align*}\]

 

Der Zählerterm \(4x\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\). Es gilt:

\(f'(x) < 0\) für \(4x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x < 0\) streng monoton fallend.

 

\(f'(x) > 0\) für \(4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x > 0\) streng monoton steigend.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »