Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten Ableitung \(f'\) beurteilen.
Monotoniekriterium
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.
\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Ableitungsregeln
| Erste Ableitung elementarer Funktionen (vgl. Merkhilfe) |
| Funktion \(f(x)\) | Ableitung \(f'(x)\) |
| Konstante Funktion | \(c \quad (c \in \mathbb R)\) | \(0\) |
| Potenzfunktion | \(x^{r} \quad (r \in \mathbb R)\) | \(r \cdot x^{r - 1}\) |
| Wurzelfunktion | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| Trigonometrische Funktionen | \(\sin{x}\) | \(\cos{x}\) |
| \(\cos{x}\) | \(-\sin{x}\) |
| \(\tan{x}\) | \(\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\) |
| Exponentialfunktionen | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(a^{x}\) | \((\ln{a}) \cdot a^{x}\) |
| Logarithmusfunktionen | \(\ln{x}\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\log_{a}(x)\) | \(\dfrac{1}{(\ln{a}) \cdot x}\) |
| Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe) |
| Faktorregel | \(\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\) |
| Summenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
| Produktregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
| Quotientenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\) |
| Kettenregel | \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\) |
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{{(\textcolor{#0087c1}{2x - 0})} \cdot (\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}) - (\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}) \cdot (\textcolor{#cc071e}{2x + 0})}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot [x^{2} + 1 - (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot (x^{2} + 1 - x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot 2}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{\underbrace{(x^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \end{align*}\]
Der Zählerterm \(4x\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\). Es gilt:
Monotoniekriterium
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\(f'(x) < 0\) für \(4x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x < 0\) streng monoton fallend.
\(f'(x) > 0\) für \(4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x > 0\) streng monoton steigend.
