Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))
(4 BE)
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))
(4 BE)
Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten Ableitung \(f'\) beurteilen.
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.
\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{{(\textcolor{#0087c1}{2x - 0})} \cdot (\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}) - (\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}) \cdot (\textcolor{#cc071e}{2x + 0})}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot [x^{2} + 1 - (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot (x^{2} + 1 - x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot 2}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{\underbrace{(x^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \end{align*}\]
Der Zählerterm \(4x\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\). Es gilt:
\(f'(x) < 0\) für \(4x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x < 0\) streng monoton fallend.
\(f'(x) > 0\) für \(4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x > 0\) streng monoton steigend.
Wegen der Corona Pandemie sind einige Inhalte für die schriftliche Mathematik Abiturprüfung 2021 nicht prüfungsrelevant.
„... bedeutet nicht, dass diese Inhalte im Unterricht nicht zu behandeln sind, sie können ggf. auch zum Gegenstand kleiner und großer Leistungsnachweise gemacht werden." (Zitat ISB*)
Mathematik Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant
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* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München