Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet.

Begründen Sie, dass \(F\) in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt.
Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[F(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt\]

 

Begründung, weshalb \(F\) die Nullstelle \(x = 0\) hat

jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x}f(t)dt\) hat an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle. Also hat die Integralfunktion \(F\) die Nullstelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 0}\).

Nullstelle einer Integralfunktion

Nullstelle einer Integralfunktion

Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.

\[I_{a}(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) - F(a) = 0\]

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

\[F(\textcolor{#e9b509}{0}) = \int_{0}^{\textcolor{#e9b509}{0}}f(t)dt = 0\]

 

Begründung mithilfe von \(G_{f}\), dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt

Flächeninhaltsgleiche Flächenstücke, welche der Graph von f im Bereich 0 ≤ x ≤ 3 mit der x-Achse einschließt.

Im Intervall \([0;1]\) schließt \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse ein Flächenstück ein, welches unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Somit gilt: \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{F(1) = \int_{0}^{1}f(t) dt < 0}\).

Im Intervall \([2;3]\) gibt es eine Stelle \(x_{1}\), sodass \(G_{f}\) im Bereich \(1 \leq x \leq x_{1}\) ein flächeninhaltsgleiches Flächenstück mit der \(x\)-Achse einschließt, welches oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Es gilt: \(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int_{1}^{x_{1}}f(t)dt > 0}\).

Da die Flächenbilanz der beiden Flächenstücke Null ist, hat die Integralfunktion an der Stelle \(x_{1} \in [2;3]\) eine weitere Nullstelle.

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*}F(x_{1}) &= \int_{0}^{x_{1}} f(t)dt &&| \; x_{1} \in [2;3] \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\int_{0}^{1}f(t)dt}_{<\,0}} + \textcolor{#0087c1}{\underbrace{\int_{1}^{x_{1}}f(t)dt}_{>\,0}} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Durch „Kästchenzählen" lässt sich die weitere Nullstelle \(x_{1} \in [2;3]\), an der die Flächenbilanz der beiden Flächenstücke Null ist, ungefähr abschätzen: \(x_{1} \approx 2{,}3\) (hilfreich für Teilaufgabe 1d).

 

Besondere Eigenschaft von \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)

Der Punkt \((-1|F(-1))\) ist Hochpunkt von \(G_{F}\).

 

Begründung 

Nullstelle x = -1 des Graphen von f mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Hochpunkt (-1|F(-1)) des Graphen der Integralfunktion F

Abbildung 1 bzw. dem Funktionsterm \(f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\) ist zu entnehmen, dass \(x = -1\) eine einfache Nullstelle von \(f\) ist.

 

\[f(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace  x^{2} - 1 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x_{1,2} = \pm 1\]

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) einer stetigen Funktion \(f\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt \quad \Longrightarrow \quad I'_{a}(x) = f(x)\]

(vgl. Merkhilfe)

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(F\) eine Stammfunktion von f und es gilt somit:

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

\[f(-1) = F'(-1) = 0\]

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

An der Nullstelle \(x = -1\) wechselt \(f(x) = F'(x)\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Gemäß dem Monotoniekriterium wechselt demzufolge der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend". Also hat \(G_{F}\) an der Stelle \(x = -1\) den Hochpunkt \(HoP(-1|F(-1))\).

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[\left. \begin{align*} &f(x) = F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &f(x) = F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{\text{Hochpunkt} \; HoP\,(-1|F(-1))} \]