Teilaufgabe 2a

Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet.

Begründen Sie, dass \(F\) in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt.
Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[F(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt\]

 

Begründung, weshalb \(F\) die Nullstelle \(x = 0\) hat

jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x}f(t)dt\) hat an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle. Also hat die Integralfunktion \(F\) die Nullstelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 0}\).

\[F(\textcolor{#e9b509}{0}) = \int_{0}^{\textcolor{#e9b509}{0}}f(t)dt = 0\]

 

Begründung mithilfe von \(G_{f}\), dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt

Flächeninhaltsgleiche Flächenstücke, welche der Graph von f im Bereich 0 ≤ x ≤ 3 mit der x-Achse einschließt.

Im Intervall \([0;1]\) schließt \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse ein Flächenstück ein, welches unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Somit gilt: \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{F(1) = \int_{0}^{1}f(t) dt < 0}\).

Im Intervall \([2;3]\) gibt es eine Stelle \(x_{1}\), sodass \(G_{f}\) im Bereich \(1 \leq x \leq x_{1}\) ein flächeninhaltsgleiches Flächenstück mit der \(x\)-Achse einschließt, welches oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Es gilt: \(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int_{1}^{x_{1}}f(t)dt > 0}\).

Da die Flächenbilanz der beiden Flächenstücke Null ist, hat die Integralfunktion an der Stelle \(x_{1} \in [2;3]\) eine weitere Nullstelle.

\[\begin{align*}F(x_{1}) &= \int_{0}^{x_{1}} f(t)dt &&| \; x_{1} \in [2;3] \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\int_{0}^{1}f(t)dt}_{<\,0}} + \textcolor{#0087c1}{\underbrace{\int_{1}^{x_{1}}f(t)dt}_{>\,0}} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Durch „Kästchenzählen" lässt sich die weitere Nullstelle \(x_{1} \in [2;3]\), an der die Flächenbilanz der beiden Flächenstücke Null ist, ungefähr abschätzen: \(x_{1} \approx 2{,}3\) (hilfreich für Teilaufgabe 1d).

 

Besondere Eigenschaft von \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)

Der Punkt \((-1|F(-1))\) ist Hochpunkt von \(G_{F}\).

 

Begründung 

Nullstelle x = -1 des Graphen von f mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Hochpunkt (-1|F(-1)) des Graphen der Integralfunktion F

Abbildung 1 bzw. dem Funktionsterm \(f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\) ist zu entnehmen, dass \(x = -1\) eine einfache Nullstelle von \(f\) ist.

 

\[f(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace  x^{2} - 1 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x_{1,2} = \pm 1\]

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(F\) eine Stammfunktion von f und es gilt somit:

\[f(-1) = F'(-1) = 0\]

An der Nullstelle \(x = -1\) wechselt \(f(x) = F'(x)\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Gemäß dem Monotoniekriterium wechselt demzufolge der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend". Also hat \(G_{F}\) an der Stelle \(x = -1\) den Hochpunkt \(HoP(-1|F(-1))\).

\[\left. \begin{align*} &f(x) = F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &f(x) = F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{\text{Hochpunkt} \; HoP\,(-1|F(-1))} \]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »