Teilaufgabe 2c

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\).
Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\).

Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[x \mapsto \cos{x}\]

\[g(x) = -\cos\left( \frac{\pi}{2}x \right); \; D_{g} = \mathbb R\]

 

Beschreibung, wie \(G_{g}\) aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht

 

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse:

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\]

 

Graph der Funktion x ↦ cos x und Graph der Funktion x ↦ -cos x

Der Graph der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) an der \(x\)-Achse.

 

2. Streckung in \(x\)-Richtung:

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{-\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)} = g(x)}\]

 

Graph der Funktion x ↦ -cos x und Graph der Funktion x ↦ -\cos(½πx)

Der Graph der Funktion \(\textcolor{#0087c1}{g \colon x \mapsto -\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}x \right)}}\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\) in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}}\).

 

Anmerkung:

Die Streckung in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k = \dfrac{2}{\pi}}\enspace(0 < k < 1)\) bewirkt eine Stauchung.

Die Periode \(\textcolor{#cc071e}{p = 2\pi}\) wird dadurch auf \(\textcolor{#0087c1}{p = 2\pi \cdot \dfrac{2}{\pi} = 4}\) verkürzt.

 

Anmerkung:

Es ist ebenso möglich,

1. eine Streckung in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(k = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}\)

\(\Longrightarrow \quad x \mapsto \cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)}\) und

2. eine Spiegelung an der \(x\)-Achse

\(\Longrightarrow \quad x \mapsto -\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)} = g(x)\)

zu beschreiben.

 

Näherungswert von \(F(1)\) durch Integration von \(g\)

\[\begin{align*} F(1) &\approx \int_{0}^{1}g(t)dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{1}-\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{-\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{1}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1} \right)} -\left( -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{0} \right)} \right) \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right)}}_{1} + \frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{0}}_{0} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Im Bereich \(0 \leq x \leq 1\) gleicht der Verlauf des Graphen \(G_{g}\) näherungsweise dem Verlauf des Graphen \(G_{f}\).

Die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) von \(f\) sind zugleich Nullstellen von \(g\). Denn die Nullstellen der Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos{x}\) sind \((2k + 1) \cdot \frac{\pi}{2}\) mit \(k \in \mathbb Z\) (ungeradzahlige Vielfache von \(\frac{\pi}{2}\)). Folglich sind \(2k + 1\) mit \(k \in \mathbb Z\) (ungerade ganze Zahlen) die Nullstellen der Funktion \(g \colon x \mapsto -\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)}\).

Deshalb lässt sich durch Integration von \(g\) ein Näherungswert für \(F(1)\) berechnen.

 

\[F(1) = \int_{0}^{1}f(t)dt \approx \textcolor{#0087c1}{\int_{0}^{1}g(t)dt}\]

Flächenstücke, welche die Graphen der Funktionen f und g jeweils im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 mit der x-Achse einschließen.

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{1}g(t)dt\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(g\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen von \(g\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int g(t)dt = \int -\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt\).

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C}\) und

\(\textcolor{#0087c1}{\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\)

ergibt sich:

\[\begin{align*}\int -\textcolor{#cc071e}{\cos}{\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{\pi}{2}t}\right)}dt &= -\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\sin}{\left( \textcolor{#0087c1}{\frac{\pi}{2}t}\right)} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t\right)} + C\end{align*}\]

 

Somit ist \(G \colon t \mapsto -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{2}t \right)}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(g \colon t \mapsto -\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}t \right)}\) (für \(C = 0\)) und es folgt:

\[\begin{align*} F(1) &\approx \int_{0}^{1}g(t)dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{1}-\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{-\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{1}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1} \right)} -\left( -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{0} \right)} \right) \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right)}}_{1} + \frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{0}}_{0} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \end{align*}\]

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