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Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\).

Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\) ist.
Zeigen Sie rechnerisch, dass \(f\) streng monoton abnehmend ist.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Begründung, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\) ist

Da die waagrechte Asymptote das Verhalten von \(G_{f}\) im Unendlichen beschreibt, wird mit \(D_{f} = \mathbb R_{0}^{+} = [0;+\infty[\) die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\) durchgeführt.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \big( 1 + \textcolor{#cc071e}{\underbrace{7e^{\overbrace{-0{,}2x}^{\to\,-\infty}}}_{\to\,0}} \big) &&| \; \text{oder umformulieren mit}\; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \bigg( 1 + \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{7}{e^{0{,}2x}}}_{\to\,0}} \bigg) \\[0.8em] &= 1\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad y = 1\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).

 

Rechnerischer Nachweis, dass \(f\) streng monoton abnehmend ist 

Gemäß dem Monotoniekriterium ist \(f\) streng monoton abnehmend, wenn für alle \(x \in D_{f}\) gilt: \(f'(x) < 0\).

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Summenregel, die Faktorregel, die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[f(x) = 1 + 7\textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{-0{,}2x}}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[f'(x) = 0 + 7 \cdot \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{-0{,}2x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(-0{,}2)} = \underbrace{-1{,}4\underbrace{e^{-0{,}2x}}_{>\,0}}_{<\,0}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(D_{f}\) streng monoton abnehmend.

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