mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe 1b

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

Rechteck mit den Punkten \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) für \(s > 0\) und dem Flächeninhalt \(R(s)\)

 

Einzeichnen des Rechtecks für \(s = 5\) in Abbildung 1

Punkte \((0|1)\), \((5|1)\), \((5|f(5))\) und \((0|f(5))\)

Rechteck für \(s = 5\)

Rechteck für \(s = 5\)

 

Nachweis, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist

Als Erstes wird der Flächeninhalt \(R(s)\) formuliert. Die notwendige Bedingung für einen Extremwert von \(R(s)\) lautet \(R'(s) = 0\). Wechselt \(R'\) an der Nullstelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), hat \(R(s)\) dort ein Maximum.

 

Anmerkung:

Der Nachweis eines Maximums von \(R(s)\) entspricht dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion.

 

Rechteck mit Länge s und Breite f(s) - 1

Rechteck mit Länge \(\textcolor{#cc071e}{s}\) und Breite \(\textcolor{#cc071e}{f(s) - 1}\)

 

Flächeninhalt \(R(s)\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} R(s) &= \textcolor{#cc071e}{s} \cdot \textcolor{#cc071e}{(f(s) - 1)} \\[0.8em] &= s \cdot (1 + 7e^{-0{,}2s}) - 1) \\[0.8em] &= s \cdot 7e^{-0{,}2s} \\[0.8em] &= 7s \cdot e^{-0{,}2s} \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(R'\) bilden:

Der Funktionsterm \(R(s)\) lässt sich mithilfe der Faktorregel, der Produktregel, der Kettenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten.

 

\[R(s) = \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}}; \; s > 0\]

\[\begin{align*} R'(s) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{7} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}} + \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}}}_{\text{Produktregel}} \\[0.8em] &= 7e^{-0{,}2s} -1{,}4se^{-0{,}2s} &&| \; e^{-0{,}2s}\; \text{ausklammern (Faktorisieren)} \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s)\end{align*}\]

 

Nullstelle von \(R'\) berechnen:

Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2s}\) stets positiv ist, bestimmt der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) die Nullstelle von \(R'(s)\).

 

\[\begin{align*} R'(s) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 7 - 1{,}4s &= 0 &&| +1{,}4s \\[0.8em] 7 &= 1{,}4s &&| : 1{,}4 \\[0.8em] 5 &= s \end{align*}\]

 

Prüfen, ob an der Stelle \(s = 5\) ein Maximum von \(R(s)\) vorliegt.

 

1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle von \(R'\)

Eine Umformung von \(R'(x)\) hilft, den Vorzeichenwechsel an der Stelle \(s = 5\) anschaulich zu dokumentieren.

 

\[\begin{align*}R'(s) &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s) \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot 1{,}4 \cdot \textcolor{#cc071e}{(5 - s)} \end{align*}\]

 

Der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) bzw. \(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\) an der Stelle \(s = 5\).

 

\(s\) \(\textcolor{#cc071e}{0 < s < 5}\) \(5\) \(\textcolor{#cc071e}{s > 5}\)
\(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\) \(\textcolor{#cc071e}{+}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\)
\(R'(s)\) \(+\) \(\text{Maximum}\) \(-\)

Oder mithilfe von Testwerten:

 

\[\textcolor{#cc071e}{R'(4)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 4}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 4}_{\textcolor{#cc071e}{>\,0}}) \textcolor{#cc071e}{> 0}\]

\[\textcolor{#cc071e}{R'(6)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 6}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 6}_{\textcolor{#cc071e}{<\,0}}) \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

 

Da \(\textcolor{#cc071e}{R'(5) = 0}\) gilt und zudem \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) an der Stelle \(s = 5\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) hat, ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.

 

2. Möglichkeit: halbgraphischer Nachweis des Vorzeichenwechsel von \(R'\)

 

\[R'(s) = \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]

 

Der lineare Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\). Dieser Faktor kann durch die Gerade mit der Gleichung \(y = -1{,}4s + 7\) veranschaulicht werden. Es genügt eine qualitative Skizze unter Berücksichtigung der Punkte \((0|7)\) (\(y\)-Achsenabschnitt) und \((5|0)\) (vgl. Nullstelle \(s = 5\) von \(R'\)).

Da die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = -1{,}4s + 7}\) an der Nullstelle \(s = 5\) von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) verläuft, hat \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\). Folglich ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.

Vorzeichenwechsel der Gerade mit der Gleichung y = -1,4s + 7 an der Nullstelle s = 5

 

3. Möglichkeit: Nachweis des Maximums mithilfe von \(R''\)

Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und deshalb in diesem Fall nicht zu empfehlen.

Zweite Ableitung \(R''\) bilden:

Hierfür wird die Summenregel, die Faktorregel, die Produktregel und die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[R'(s) = \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]

\[\begin{align*} R''(s) &= \underbrace{\overbrace{\textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)} + \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(0 - 1{,}4)}}_{\text{Produktregel}} &&| \; e^{-0{,}2s}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot [(-0{,}2) \cdot (7 - 1{,}4s) - 1{,}4] \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (-1{,}4 + 0{,}28s - 1{,}4) \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (0{,}28 - 2{,}8) \end{align*}\]

 

Vorzeichen von \(R''\) an der Stelle \(s = 5\) ermitteln:

\[\textcolor{#cc071e}{R''(5)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 5}}_{>\,0} \cdot \underbrace{(0{,}28 \cdot 5 - 2{,}8)}_{<\,0} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{R(5)}\) ist ein Maximum.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.