Teilaufgabe 1b

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

Rechteck mit den Punkten \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) für \(s > 0\) und dem Flächeninhalt \(R(s)\)

 

Einzeichnen des Rechtecks für \(s = 5\) in Abbildung 1

Punkte \((0|1)\), \((5|1)\), \((5|f(5))\) und \((0|f(5))\)

Rechteck für \(s = 5\)

Rechteck für \(s = 5\)

 

Nachweis, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist

Als Erstes wird der Flächeninhalt \(R(s)\) formuliert. Die notwendige Bedingung für einen Extremwert von \(R(s)\) lautet \(R'(s) = 0\). Wechselt \(R'\) an der Nullstelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), hat \(R(s)\) dort ein Maximum.

 

Anmerkung:

Der Nachweis eines Maximums von \(R(s)\) entspricht dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion.

 

Rechteck mit Länge s und Breite f(s) - 1

Rechteck mit Länge \(\textcolor{#cc071e}{s}\) und Breite \(\textcolor{#cc071e}{f(s) - 1}\)

 

Flächeninhalt \(R(s)\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} R(s) &= \textcolor{#cc071e}{s} \cdot \textcolor{#cc071e}{(f(s) - 1)} \\[0.8em] &= s \cdot (1 + 7e^{-0{,}2s}) - 1) \\[0.8em] &= s \cdot 7e^{-0{,}2s} \\[0.8em] &= 7s \cdot e^{-0{,}2s} \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(R'\) bilden:

Der Funktionsterm \(R(s)\) lässt sich mithilfe der Faktorregel, der Produktregel, der Kettenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten.

 

\[R(s) = \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}}; \; s > 0\]

\[\begin{align*} R'(s) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{7} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}} + \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}}}_{\text{Produktregel}} \\[0.8em] &= 7e^{-0{,}2s} -1{,}4se^{-0{,}2s} &&| \; e^{-0{,}2s}\; \text{ausklammern (Faktorisieren)} \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s)\end{align*}\]

 

Nullstelle von \(R'\) berechnen:

Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2s}\) stets positiv ist, bestimmt der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) die Nullstelle von \(R'(s)\).

 

\[\begin{align*} R'(s) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 7 - 1{,}4s &= 0 &&| +1{,}4s \\[0.8em] 7 &= 1{,}4s &&| : 1{,}4 \\[0.8em] 5 &= s \end{align*}\]

 

Prüfen, ob an der Stelle \(s = 5\) ein Maximum von \(R(s)\) vorliegt.

 

1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle von \(R'\)

Eine Umformung von \(R'(x)\) hilft, den Vorzeichenwechsel an der Stelle \(s = 5\) anschaulich zu dokumentieren.

 

\[\begin{align*}R'(s) &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s) \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot 1{,}4 \cdot \textcolor{#cc071e}{(5 - s)} \end{align*}\]

 

Der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) bzw. \(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\) an der Stelle \(s = 5\).

 

\(s\)\(\textcolor{#cc071e}{0 < s < 5}\)\(5\)\(\textcolor{#cc071e}{s > 5}\)
\(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\)\(\textcolor{#cc071e}{+}\)\(0\)\(\textcolor{#cc071e}{-}\)
\(R'(s)\)\(+\)\(\text{Maximum}\)\(-\)

Oder mithilfe von Testwerten:

 

\[\textcolor{#cc071e}{R'(4)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 4}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 4}_{\textcolor{#cc071e}{>\,0}}) \textcolor{#cc071e}{> 0}\]

\[\textcolor{#cc071e}{R'(6)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 6}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 6}_{\textcolor{#cc071e}{<\,0}}) \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

 

Da \(\textcolor{#cc071e}{R'(5) = 0}\) gilt und zudem \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) an der Stelle \(s = 5\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) hat, ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.

 

2. Möglichkeit: halbgraphischer Nachweis des Vorzeichenwechsel von \(R'\)

 

\[R'(s) = \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]

 

Der lineare Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\). Dieser Faktor kann durch die Gerade mit der Gleichung \(y = -1{,}4s + 7\) veranschaulicht werden. Es genügt eine qualitative Skizze unter Berücksichtigung der Punkte \((0|7)\) (\(y\)-Achsenabschnitt) und \((5|0)\) (vgl. Nullstelle \(s = 5\) von \(R'\)).

Da die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = -1{,}4s + 7}\) an der Nullstelle \(s = 5\) von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) verläuft, hat \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\). Folglich ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.

Vorzeichenwechsel der Gerade mit der Gleichung y = -1,4s + 7 an der Nullstelle s = 5

 

3. Möglichkeit: Nachweis des Maximums mithilfe von \(R''\)

Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und deshalb in diesem Fall nicht zu empfehlen.

Zweite Ableitung \(R''\) bilden:

Hierfür wird die Summenregel, die Faktorregel, die Produktregel und die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[R'(s) = \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]

\[\begin{align*} R''(s) &= \underbrace{\overbrace{\textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)} + \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(0 - 1{,}4)}}_{\text{Produktregel}} &&| \; e^{-0{,}2s}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot [(-0{,}2) \cdot (7 - 1{,}4s) - 1{,}4] \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (-1{,}4 + 0{,}28s - 1{,}4) \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (0{,}28 - 2{,}8) \end{align*}\]

 

Vorzeichen von \(R''\) an der Stelle \(s = 5\) ermitteln:

\[\textcolor{#cc071e}{R''(5)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 5}}_{>\,0} \cdot \underbrace{(0{,}28 \cdot 5 - 2{,}8)}_{<\,0} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{R(5)}\) ist ein Maximum.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »