Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Berechnung des Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph der Funktion f, die y-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen y = 1 und x = 5 einschließen.

Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, welches \(G_{f}\), die \(y\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) einschließen.

\[\begin{align*} A &= \int_{0}^{5}(f(x) - 1)dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{5}\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} - 1 \right)dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{5}7e^{-0{,}2x}dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{7 \cdot \frac{1}{-0{,}2} \cdot e^{-0{,}2x}}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{5}} \\[0.8em] &= \left[ -35 \cdot e^{-0{,}2x} \right]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{5}} \\[0.8em] &= -35 \cdot e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{5}} - \big( -35 \cdot \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#89ba17}{0}}}_{1} \big) \\[0.8em] &= -35 \cdot e^{-1} + 35 &&|\; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 35 - \frac{35}{e} \\[0.8em] &= 35 \cdot \left( 1 - \frac{1}{e} \right) \\[0.8em] &= 35 \cdot \frac{e - 1}{e} \\[0.8em] &\approx 22{,}12 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird, beträgt ca. 22,12 FE (Flächeneinheiten).

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph der Funktion f, die y-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen y = 1 und x = 5 einschließen.

Das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) wird in \(y\)-Richtung durch \(G_{f}\) und die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) begrenzt. Der Flächeninhalt \(A\) lässt sich somit durch Integration über die Differenzfunktion \(f(x) - 1\) berechnen.

 

\[\begin{align*} A &= \int_{0}^{5}(f(x) - 1)dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{5}\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} - 1 \right)dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{5}7e^{-0{,}2x}dx\end{align*}\]

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{5}7e^{-0{,}2x}dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 7e^{-0{,}2x}\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto 7e^{-0{,}2x}\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int 7e^{-0{,}2x}dx\).

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int e^{x} dx = e^{x} + C}\) und

\(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\)

ergibt sich:

\[\begin{align*}\int 7\textcolor{#cc071e}{e}^{\textcolor{#0087c1}{-0{,}2x}} &= 7 \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{-0{,}2}} \cdot \textcolor{#cc071e}{e}^{\textcolor{#0087c1}{-0{,}2x}} + C \\[0.8em] &= -35 \cdot e^{-0{,}2x} + C\end{align*}\]

 

Somit ist \(x \mapsto -35 \cdot e^{-0{,}2x}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 7e^{-0{,}2x}\) (für \(C = 0\)) und es folgt:

\[\begin{align*} A &= \int_{0}^{5}7e^{-0{,}2x}dx \\[0.8em] &= \big[ \underbrace{-35 \cdot e^{-0{,}2x}}_{\text{Stammfunktion}} \big]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{5}} \\[0.8em] &= -35 \cdot e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{5}} - \big( -35 \cdot \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#89ba17}{0}}}_{1} \big) \\[0.8em] &= -35 \cdot e^{-1} + 35 &&|\; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 35 - \frac{35}{e} \\[0.8em] &= 35 \cdot \left( 1 - \frac{1}{e} \right) \\[0.8em] &= 35 \cdot \frac{e - 1}{e} \\[0.8em] &\approx 22{,}12 \end{align*}\]

 

Prozentualer Anteil des zu \(s = 5\) gehörigen Rechtecks

 Anteil des Rechtecks mit dem Flächeninhalt R(5)

Anteil des Rechtecks mit dem Flächeninhalt \(R(5)\) für \(s = 5\) (vgl. Teilaufgabe 1b)

 

\(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\); \(s = 5\) (vgl. Teilaufgabe 1b)

 

\[R(5) = 7 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 35 \cdot e^{-1} = 35 \cdot \frac{1}{e}\]

 

Prozentualen Anteil von \(R(5)\) berechnen:

 

\[\frac{R(5)}{A} = \frac{\cancel{35} \cdot \frac{1}{\cancel{e}}}{\cancel{35} \cdot \frac{e - 1}{\cancel{e}}} = \frac{1}{e - 1} \approx 0{,}582 = 58{,}2\,\%\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2a »