Teilaufgabe 2a

Die in \(\mathbb R_{0}^{+}\) definierte Funktion \(A \colon x \mapsto \dfrac{8}{f(x)}\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und \(A(x)\) der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Bestimmen Sie \(A(0)\) sowie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion \(\mathbf{f}\), dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Bestimmung von \(A(0)\) und Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

\(x\): Zeit in Tagen, \(A(x)\): Flächeninhalt in Quadratmetern

 

\[A(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{8}{f(\textcolor{#e9b509}{0})} = \frac{8}{1 + 7\underbrace{e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}}_{1}} = 1\]

 

Bedeutung im Sachzusammenhang:

Zu Beobachtungsbeginn beträgt der Flächeninhalt des Algenteppichs am Südufer des Sees 1 m².

 

Bestimmung von \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) und Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

\(x\): Zeit in Tagen, \(A(x)\): Flächeninhalt in Quadratmetern

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{8}{1 + 7\textcolor{#cc071e}{\underbrace{e^{-0{,}2x}}_{\to\,0}}} &&| \; \text{oder umformulieren mit}\; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{8}{1 + \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{7}{e^{0{,}2x}}}_{\to\,0}}} \\[0.8em] &= 8\end{align*}\]

 

Bedeutung im Sachzusammenhang:

Im Laufe der Zeit nähert sich der Flächeninhalt des Algenteppichs am Südufer des Sees dem Wert 8 m².

 

Begründung mithilfe des Monotonieverhaltens von \(f\), dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt, dass die Funktion \(f\) streng monoton abnehmend ist.

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Die Funktionswerte von \(f(x)\) werden mit zunehmendem \(x\) immer kleiner. Folglich wird der Bruch \(\frac{8}{f(x)}\) mit dem konstanten positiven Zähler \(8\) immer größer. Die Funktion \(A(x)\) ist deshalb streng monoton zunehmend, was bedeutet, dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »