mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe 2b

Bestimmen Sie denjenigen Wert \(x_{0}\), für den \(A(x_{0}) = 4\) gilt, und interpretieren sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Die Bedingung \(A(x_{0}) = 4\) führt zu einer Exponetialgleichung, die sich nach elementaren Umformungen durch Logarithmieren lösen lässt.

 

\[\begin{align*} A(x_{0}) &= 4 \\[0.8em] \frac{8}{1 + 7e^{-0{,}2x_{0}}} &= 4 &&| \cdot \left( 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} \right) \\[0.8em] 8 &= 4 \cdot \left( 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} \right) &&| : 4 \\[0.8em] 2 &= 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} &&| - 1 \\[0.8em] 1 &= 7e^{-0{,}2x_{0}} &&| : 7 \\[0.8em] \frac{1}{7} &= e^{-0{,}2x_{0}} &&| \, \ln{(\dots)} \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= \ln{\left( e^{-0{,}2x_{0}} \right)} &&| \, \ln{\left( e^{x} \right)} = x \; \left(\text{allg.:} \; \log_{a}{\left( a^{x} \right)} = x \right) \\[0.8em] \ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= -0{,}2x_{0} &&| \cdot (-5) \\[0.8em] -5\ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= x_{0} \\[0.8em] x_{0} &\approx 9{,}7 \end{align*}\]

 

Interpretation des Ergebnisses im Sachzusammenhang:

Ungefähr 9,7 Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt der Flächeninhalt des Algenteppichs am Südufer des Sees 4 m².

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.