Teilaufgabe 2c

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]

Es ist \(A'(0)\) zu berechnen.

 

Erste Ableitung \(A'(x)\) bilden:

Der Funktionsterm \(A(x)\) lässt sich zeitsparend unter Berücksichtigung des in Teilaufgabe 1a ermittelten Ergebnisses für \(f'(x)\) und mithilfe der Quotientenregel ableiten. Als Alternative kann \(A(x)\) nach einer Umformulierung in die Potenzschreibweise (\(\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}\)) mithilfe der Kettenregel abgeleitet werden.

 

1. Möglichkeit: Quotientenregel anwenden

 

\[A(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{8}}{\textcolor{#cc071e}{f(x)}}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[\begin{align*} A'(x) & = \frac{\textcolor{#0087c1}{0} \cdot \textcolor{#cc071e}{f(x)} - \textcolor{#0087c1}{8} \cdot \textcolor{#cc071e}{f'(x)}}{\left[ \textcolor{#cc071e}{f(x)} \right]^{2}} &&| \, f'(x) = -1{,}4e^{-0{,}2x}\; \text{(vgl. Teilaufgabe 1a)} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot \left( -1{,}4e^{-0{,}2x} \right)}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{11{,}2e^{-0{,}2x}}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}} \end{align*}\]

 

Oder ohne Berücksichtigung des Ergebnisses für \(f'(x)\) aus Teilaufgabe 1a:

 

\[A(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{8}}{\textcolor{#cc071e}{1 + 7e^{-0{,}2x}}}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[\begin{align*} A'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{0} \cdot \textcolor{#cc071e}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)} - \textcolor{#0087c1}{8} \cdot \textcolor{#cc071e}{\big( 0 + 7}\overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2x} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}} \textcolor{#cc071e}{\big)}}{\left( \textcolor{#cc071e}{1 + 7e^{-0{,}2x}} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot \left( -1{,}4e^{-0{,}2x} \right)}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{11{,}2e^{-0{,}2x}}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}}\end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Mit der Kettenregel (nach Umformulierung in die Potenzschreibweise)

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)} = 8 \cdot \textcolor{#0087c1}{(}\textcolor{#cc071e}{f(x)}\textcolor{#0087c1}{)^{-1}}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[\begin{align*} A'(x) &= 8 \cdot \overbrace{\textcolor{#0087c1}{(-1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(}\textcolor{#cc071e}{f(x)}\textcolor{#0087c1}{)^{-2}} \cdot \textcolor{#cc071e}{f'(x)}}^{\text{Kettenregel}} &&| \, a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot f'(x)}{(f(x))^{2}} &&| \, f'(x) = -1{,}4e^{-0{,}2x}\;\text{(vgl. Teilaufgabe 1a)} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot \left( -1{,}4e^{-0{,}2x} \right)}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{11{,}2e^{-0{,}2x}}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}} \end{align*}\]

 

Oder ohne Berücksichtigung des Ergebnisses für \(f'(x)\) aus Teilaufgabe 1a:

 

\[A(x) = \frac{8}{f(x)} = 8 \cdot \textcolor{#0087c1}{(}\textcolor{#cc071e}{1 + 7e^{0{,}2x}}\textcolor{#0087c1}{)^{-1}}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]

\[\begin{align*} A'(x) &= 8 \cdot \overbrace{\textcolor{#0087c1}{(-1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(}\textcolor{#cc071e}{1 + 7e^{-0{,}2x}} \textcolor{#0087c1}{)^{-2}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(0 + 7}\overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}} \textcolor{#cc071e}{)}}^{\text{Kettenregel}} \\[0.8em] &= (-8) \cdot \left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{-2} \cdot \left( -1{,}4e^{-0{,}2x} \right) &&| \, a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{11{,}2e^{-0{,}2x}}{\left( 1 + 7e^{-0{,}2x} \right)^{2}}\end{align*}\]

 

\(A'(0)\) berechnen:

 

\[A'(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{11{,}2\overbrace{e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}}^{1}}{\big( 1 + 7\underbrace{e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}}_{1} \big)^{2}} = \frac{11{,}2}{8^{2}} = 0{,}175\]

 

Zu Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate des Algenteppichs am Südufer des Sees \(\sf{0{,}175} \frac{\sf{m^{2}}}{\sf{Tag}}\).

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