Teilaufgabe b

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen.

Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

Ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ergibt sich direkt aus der Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Teilaufgabe a).

 

\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel der Ebenen berechnen:

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{E} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \vert}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{5}{\sqrt{26}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{5}{\sqrt{26}} \right) \approx 11{,}3^{\circ}\end{align*}\]

 

Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen beträgt ca. 11,3°.

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