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Teilaufgabe a

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,.\)

Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist, dass \(g\) und \(E\) genau einen gemeinsamen Punkt haben:

\[\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = -72 \neq 0\]

(1 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}}\]

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}}, \; \lambda \in \mathbb R\]

\[\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}} \textcolor{#cc071e}{\circ} \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}} = -72 \textcolor{#cc071e}{\neq 0}\]

Die Gleichung sagt aus, dass das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebenengleichung von \(E\) und dem Richtungsvektor der Geradengleichung von \(g\) ungleich Null ist. Folglich sind der Normalenvektor und der Richtungsvektor nicht zueinander senkrecht. Die Gerade \(g\) verläuft daher nicht parallel zur Ebene \(E\), sondern schneidet die Ebene in genau einem Punkt.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: Teilaufgabe b »
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