mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe c

Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\).

(zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\))

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Bestimmung der Koordinaten des Berührpunkts \(F\)

Im Berührpunkt \(F\) steht der Radius \(\mathbf{r}\) der Kugel \(K\) senkrecht auf der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{E}}\).

Die Lotgerade \(\textcolor{#e9b509}{\mathbf{\ell}}\) zur Ebene \(\textcolor{}{\textcolor{#0087c1}{E}}\) durch den Mittelpunkt \(\textcolor{#cc071e}{M}\) der Kugel K schneidet die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{E}}\) im Berührpunkt \(\mathbf{F}\) (Lotfußpunkt).

Der Normalenvektor der Ebene \(E\) ist ein Richtungsvektor der Lotgerade \(\ell\). Der Mittelpunkt \(M\) dient als Aufpunkt.

Lotgerade ? zur Ebene E durch den Mittelpunkt M der Kugel K

Gleichung der Lotgerade \(\ell\) aufstellen

 

\[\textcolor{#cc071e}{M(-13|20|0)}\]

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#e9b509}{\ell} \colon \overrightarrow{X} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -13 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}} + \mu \cdot \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Koordinaten des Berührpunkts \(F\) bestimmen 

Hierfür werden die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) in die Gleichung der Ebene \(E\) eingesetzt und diese nach dem Parameter \(\mu\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*}\ell \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} -13 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R \\[0.8em] \ell \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} \textcolor{#89ba17}{-13 + 4\mu} \\ \textcolor{#89ba17}{20 - 8\mu} \\ \textcolor{#89ba17}{\mu} \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R \end{align*}\]

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\]

 

\[\begin{align*}\ell \cap E \colon 4 \cdot \textcolor{#89ba17}{(-13 + 4\mu)} - 8 \cdot \textcolor{#89ba17}{(20 - 8\mu)} + \textcolor{#89ba17}{\mu} + 50 &= 0 \\[0.8em] -52 + 16\mu - 160 + 64\mu + \mu + 50 &= 0 \\[0.8em] 81\mu - 162 &= 0 &&| + 162 \\[0.8em] 81\mu &= 162 &&| : 81 \\[0.8em] \mu &= 2 \end{align*}\]

 

Eingesetzt in die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) liefert der Parameterwert \(\textcolor{#89ba17}{\mu = 2}\) den Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) des Berührpunkts \(F\).

 

\[F \in \ell \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} -13 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix} + \textcolor{#89ba17}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\Rightarrow \enspace F(-5|4|2)\]

 

Berechnung des Kugelradius \(r\)

\(M(-13|20|0)\), \(F(-5|4|2)\)

\[\begin{align*}r &= \vert \overrightarrow{MF} \vert = \vert \overrightarrow{F} - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -13 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 8 \\ -16 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{8^{2} + (-16)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{324} = 18\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe b Teilaufgabe d »
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.