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Teilaufgabe e

Die Punkte \(M\), \(T\), \(S\) und \(F\) (vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene \(Z\). Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade \(g\), den Schnitt der Ebene \(E\) mit der Ebene \(Z\) sowie den Schnitt der Kugel \(K\) mit der Ebene \(Z\).

Begründen Sie, dass das Viereck \(MTSF\) einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

Abbildung Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Begründung, dass das Viereck \(MTSF\) einen Umkreis besitzt

Punkte F und T auf Thaleskreis über [MS], Umkreis des Vierecks MTSF

Die Punkte \(F\) und \(T\) sind Berührpunkte der Ebene \(E\) bzw. der Gerade \(g\) mit der Kugel \(K\). Deshalb sind die Dreiecke \(MSF\) und \(MTS\) bei \(F\) bzw. \(T\) rechtwinklig.

Die Berührpunkte \(F\) und \(T\) liegen auf einem Thaleskreis über dem Durchmesser \([MS]\). Das Viereck \(MTSF\) hat somit einen Umkreis.

 

Berechnung des Flächeninhalts des Vierecks \(MTSF\)

Rechtwinkliges Dreieck MSF

Der Flächeninhalt des Vierecks \(MTSF\) ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks \(MSF\) mit den Katheten \([MF]\) und \([FS]\).

 

\[\begin{align*}A_{MTSF} &= 2 \cdot \textcolor{#cc071e}{A_{MSF}} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{MF}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{FS}} &&| \; \textcolor{#cc071e}{\overline{MF} = r} \\[0.8em] &= r \cdot \overline{FS} \end{align*}\]

 

Länge der Kathete \([FS]\) berechnen:

\(F(-5|4|2)\), \(S(0{,}5|6{,}5|0)\) (vgl. Teilaufgaben b,c)

 

\[\begin{align*}\overline{FS} &= \vert \overrightarrow{FS} \vert = \vert \overrightarrow{S} - \overrightarrow{F} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 6{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 5{,}5 \\ 2{,}5 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{5{,}5^{2} + 2{,}5^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{40{,}5}\end{align*}\]

 

Mit \(r = 18\) (vgl. Teilaufgabe c) ergibt sich:

 

\[A_{MTSF} = r \cdot \overline{FS} = 18 \cdot \sqrt{40{,}5} \approx 114{,}55\]

 

Der Flächeninhalt des Vierecks \(MTSF\) beträgt ungefähr 114,55 FE (Flächeneinheiten).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe d Teilaufgabe f »
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