Teilaufgabe 2a

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20 % noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten

● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

● genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Da die 10 angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von 20 % noch nicht über einen Internetanschluss verfügen und nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „verfügt über einen schnellen Internetanschluss" und „verfügt nicht über einen schnellen Internetanschluss" betrachtet werden, liegt eine Bernoullikette der Länge \(n = 10\) vor.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Haushalte beschreibt, die noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}2)\) binomialverteilt.

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen

\(n = 10; \enspace p = 0{,}2; \enspace X \geq 2\)

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

\[\begin{align*} P_{0{,}2}^{10}(X \geq 2) &=  1 - P_{0{,}2}^{10}(X \leq 1) \\[0.8em] &= 1 - \sum \limits_{I\,=\,0}^{1}B(10;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}37581 \\[0.8em] &= 0{,}62419 \approx 62{,}4\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen

Entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 angeschrieben Haushalten genau zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

\(n = 10; \enspace p = 0{,}2; \enspace X = 2\)

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[\begin{align*} P_{0{,}2}^{10}(X = 2) &= B(10;0{,}2;2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}30199 \approx 30{,}2\,\% \end{align*}\]

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