Teilaufgabe 1b

Im Rahmen der Begrüßung durch die Schulleiterin werden aus allen Spielerinnen und Spielern zunächst zehn Kinder ausgelost, die je einen Fußball erhalten sollen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz

\(\binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5}\).

Geben Sie an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit Zurücklegen" oder vom Modell „Ziehen ohne Zurücklegen" ausgeht. Begründen Sie rechnerisch unter Zugrundelegung eines im Sachkontext realistischen Zahlenwerts für die Gesamtzahl der Spielerinnen und Spieler, dass die von Max berechnete Wahrscheinlichkeit nur geringfügig von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Max geht vom Modell „Ziehen mit Zurücklegen" aus.

Begründung (nicht verlangt)

Max nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeiten \(p = \frac{2}{3}\) bzw. \(1 - p = \frac{1}{3}\) für das Auslosen eines Jungen bzw. eines Mädchens bei genügend großer Anzahl der Spieler und Spielerinnen insgesamt näherungsweise konstant bleibt. Das bedeutet, Max modelliert das Auslosen der 10 Kinder durch eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 10\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{2}{3}\).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der ausgelosten Jungen beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B\left(10;\frac{2}{3}\right)\) binomialverteilt.

\[\begin{align*}P_{\frac{2}{3}}^{10}(X = 5) &= B\left(10;\frac{2}{3};5\right) \\[0.8em] &= \binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( 1 - \frac{2}{3} \right)^{10 - 5} \\[0.8em] &= \binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5} \\[0.8em] &= 0{,}13656\dots \end{align*}\]

 

Rechnerische Begründung dafür, dass die von Max berechnete Wahrscheinlichkeit nur geringfügig von der tatsächliche Wahrscheinlichkeit abweicht

Annahme: Bei 9 Mannschaften mit jeweils 11 Kindern ergeben sich insgesamt 99 Spielerinnen und Spieler, davon 66 Jungen (zwei Drittel, vgl. Angabe) und 33 Mädchen.

Ansatz von Max:

\(\displaystyle \binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5} = \textcolor{#89ba17}{0{,}136}56\dots\)

Tatsächliche Wahrscheinlichkeit:

\(\dfrac{\displaystyle \binom{66}{5} \cdot \binom{33}{5}}{\displaystyle \binom{99}{10}} = \textcolor{#89ba17}{0{,}136}14\dots\)

Die Abweichung der von Max berechneten Wahrscheinlichkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ist geringfügig (Unterschied erst in der 4. Dezimale).

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Da jedes der zehn Kinder nur einmal ausgelost werden kann, ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit nach dem Modell „Ziehen ohne Zurücklegen" zu berechnen.

Annahme: Bei 9 Mannschaften mit jeweils 11 Kindern ergeben sich insgesamt 99 Spielerinnen und Spieler, davon 66 Jungen (zwei Drittel, vgl. Angabe) und 33 Mädchen.

\(\dfrac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\) (vgl. Merkhilfe)

 

In diesem Fall bedeutet:

\(\textcolor{#0087c1}{K}\): 66 Jungen,

\(\textcolor{#0087c1}{k}\): 5 Jungen werden ausgelost,

\(\textcolor{#e9b509}{N - K}\): 33 Mädchen,

\(\textcolor{#e9b509}{n - k}\): 5 Mädchen werden ausgelost,

\(N\): 99 Jungen und Mädchen insgesamt und

\(n\): 10 Kinder werden ausgelost.

 

\[\begin{align*}P(\textcolor{#0087c1}{\text{5 Jungen}},\,\textcolor{#e9b509}{\text{5 Mädchen}}) &= \frac{\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\binom{66}{5}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\binom{33}{5}}}{\displaystyle \binom{99}{10}} \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{0{,}136}14\dots\end{align*}\]

 

Ansatz von Max:

\(\displaystyle \binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5} = \textcolor{#89ba17}{0{,}136}56\dots\)

 

Die Abweichung der von Max berechneten Wahrscheinlichkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ist geringfügig (Unterschied erst in der 4. Dezimale).

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