Teilaufgabe 2a

Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.

Dafür konnten sich Kinder in zwei Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(T\): „Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen."

\(E\): „das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen."

Untersuchen Sie die Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochastiche Unabhängigkeit.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Gegeben: \(P(T \cap E) = 0{,}45\), \(P(\overline{T} \cap E) = 0{,}15\), \(P_{T}(E) = 0{,}9\)

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch unabhängig, wenn beispielsweise \(P(T \cap E) = P(T) \cdot P(E)\) gilt.

 

\[\begin{align*}P(E) &= P(T \cap E) + P(\overline{T} \cap E) \\[0.8em] &= 0{,}45 + 0{,}15 \\[0.8em] &= 0{,}6 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P_{T}(E) &= \frac{P(T \cap E)}{P(T)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \enspace P(T) &= \frac{P(T \cap E)}{P_{T}(E)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}45}{0{,}9} = 0{,}5 \end{align*}\]

 

\[P(T) \cdot P(E) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}45 = P(T \cap E)\]

 

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch abhängig.

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Ein Baumdiagramm gestaltet die Aufgabenstellung übersichtlich.

Baumdiagramm mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten

 

Baumdiagramm: Anwendung der 1. Pfadregel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(T) 

Die Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) lässt sich mithilfe der 1. Pfadregel berechnen.

\[\begin{align*}P(T) \cdot \textcolor{#89ba17}{P_{T}(E)} &= \textcolor{#89ba17}{P(T \cap E)} &&| : P_{T}(E) \\[0.8em] P(T) &= \frac{P(T \cap E)}{P_{T}(E)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}45}{0{,}9} \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Baumdiagramm: Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) mithilfe der 2. Pfadregel 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) erfolgt mit der 2. Pfadregel.

\[\begin{align*}P(E) &= \textcolor{#89ba17}{P(T \cap E)} + \textcolor{#89ba17}{P(\overline{T} \cap E)} \\[0.8em] &= 0{,}45 + 0{,}15 \\[0.8em] &= 0{,}6 \end{align*}\]

 

Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochstische Unabhängigkeit prüfen:

\[P(T) \cdot P(E) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}45 = P(T \cap E)\]

 

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch abhängig.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2b »