mathelike durchsuchen:

Teilaufgabe 2a

Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.

Dafür konnten sich Kinder in zwei Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(T\): „Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen."

\(E\): „das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen."

Untersuchen Sie die Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochastiche Unabhängigkeit.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Gegeben: \(P(T \cap E) = 0{,}45\), \(P(\overline{T} \cap E) = 0{,}15\), \(P_{T}(E) = 0{,}9\)

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch unabhängig, wenn beispielsweise \(P(T \cap E) = P(T) \cdot P(E)\) gilt.

 

\[\begin{align*}P(E) &= P(T \cap E) + P(\overline{T} \cap E) \\[0.8em] &= 0{,}45 + 0{,}15 \\[0.8em] &= 0{,}6 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P_{T}(E) &= \frac{P(T \cap E)}{P(T)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \enspace P(T) &= \frac{P(T \cap E)}{P_{T}(E)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}45}{0{,}9} = 0{,}5 \end{align*}\]

 

\[P(T) \cdot P(E) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}45 = P(T \cap E)\]

 

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch abhängig.

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Ein Baumdiagramm gestaltet die Aufgabenstellung übersichtlich.

Baumdiagramm mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten

 

Baumdiagramm: Anwendung der 1. Pfadregel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(T) 

Die Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) lässt sich mithilfe der 1. Pfadregel berechnen.

\[\begin{align*}P(T) \cdot \textcolor{#89ba17}{P_{T}(E)} &= \textcolor{#89ba17}{P(T \cap E)} &&| : P_{T}(E) \\[0.8em] P(T) &= \frac{P(T \cap E)}{P_{T}(E)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}45}{0{,}9} \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Baumdiagramm: Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) mithilfe der 2. Pfadregel 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) erfolgt mit der 2. Pfadregel.

\[\begin{align*}P(E) &= \textcolor{#89ba17}{P(T \cap E)} + \textcolor{#89ba17}{P(\overline{T} \cap E)} \\[0.8em] &= 0{,}45 + 0{,}15 \\[0.8em] &= 0{,}6 \end{align*}\]

 

Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochstische Unabhängigkeit prüfen:

\[P(T) \cdot P(E) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}45 = P(T \cap E)\]

 

Die Ereignisse \(T\) und \(E\) sind stochastisch abhängig.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2b »
mathelike durchsuchen:

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.