Teilaufgabe 3c

Lisa erreichte im Training in 90 % aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert. Legen Sie Ihrer Berechnung als Modell eine geeignete Bernoullikette zugrunde

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Modell: Bernoulli-Kette der Länge \(n = 6\) mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Ereignis „Lisa erzielt einen Treffer."

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt.

\begin{align*} P_{p}^{6}(X \geq 1) &= 0{,}90 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}90 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{6}(X = 0) &= -0{,}10 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}10 & &| \; P_{p}^{6}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{6}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{p}^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{6 - 0} &= 0{,}10 \\[0.8em] (1 - p)^{6} &= 0{,}10 &&| \; \sqrt[6]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &= \sqrt[6]{0{,}1} &&| - \sqrt[6]{0{,}1} + p \\[0.8em] 1 - \sqrt[6]{0{,}1} &= p \\[0.8em] p &\approx 0{,}31871 \end{align*}

 

Der erste Schuss von Lisa ist (wie jeder andere Schuss) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 31,9 % ein Treffer.

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Da davon ausgegangen werden soll, dass sich Lisas Trefferquote im vergleich zum Training nicht ändert, wird diese als konstant angenommen. Das bedeutet, Lisa triff beim ersten Schuss im Wettbewerb sowie bei allen weiteren Schüssen immer mit der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Der Berechnung von Lisas Trefferquote wird das Modell einer Bernoulli-Kette der Länge \(n = 6\) (sechs Schüsse) mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) zugrunde gelegt.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(6;p)\) binomialverteilt.

 

Ansatz formulieren:

 

„Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert."

 

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p}\) (vgl. oben).

 

„Lisa erreichte im Training in 90 % aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer."

 

\(\Longrightarrow \quad P_{\textcolor{#cc071e}{p}}^{\textcolor{#89ba17}{6}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1}) = \textcolor{#0087c1}{0{,}9}\)

 

Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) (Lisas Trefferquote) berechnen:

Hierfür wird das Ereignis „mindestens ein Treffer" durch die Verneinung des Gegenereignisses formuliert: „nicht kein Treffer".  

\begin{align*} P_{p}^{6}(X \geq 1) &= 0{,}90 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}90 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{6}(X = 0) &= -0{,}10 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}10 & &| \; P_{p}^{6}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{6}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{p}^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{6 - 0} &= 0{,}10 \\[0.8em] (1 - p)^{6} &= 0{,}10 &&| \; \sqrt[6]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &= \sqrt[6]{0{,}1} &&| - \sqrt[6]{0{,}1} + p \\[0.8em] 1 - \sqrt[6]{0{,}1} &= p \\[0.8em] p &\approx 0{,}31871 \end{align*}

 

Der erste Schuss von Lisa ist (wie jeder andere Schuss) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 31,9 % ein Treffer.

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