Teilaufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Nachweis, dass \(f\) umkehrbar ist

Die Funktion \(f\) ist in \(\mathbb R\) umkehrbar, wenn sie in \(\mathbb R\) streng monoton (steigend oder fallend) ist.

Gemäß dem Monotoniekriterium bestimmt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) das Monotonieverhalten von \(f\).

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie die Kettenregel benötigt.

 

\[f(x) = \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[f'(x) = \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = \underbrace{2e^{2x + 1}}_{\textcolor{#e9b509}{>\,0}}\]

 

Da \(\textcolor{#e9b509}{f'(x) > 0}\) für alle \(x \in \mathbb R\) gilt, ist die Funktion \(f\) in \(D_{f} = \mathbb R\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar.

 

Term der Umkehrfunktion von \(f\)

Für die Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion von \(f\) wird zunächst die Funktionsgleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) aufgelöst. Anschließend werden die Variablen \(x\) und \(y\) getauscht und \(y = f^{-1}(x)\) liefert die Umkehrfunktion.

\[\begin{align*} y &= f(x) \\[0.8em] y &= e^{2x + 1} &&| \, \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{y} &= \ln{(e^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}})} &&| \, \log_{a}(b^{\textcolor{#cc071e}{r}}) = \textcolor{#cc071e}{r} \cdot \log_{a}{b}\; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] \ln{y} &= \textcolor{#cc071e}{(2x + 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{\ln{e}} &&| \, \textcolor{#0087c1}{\ln{e}} = 1\; (\text{allg.:}\; \log_{\textcolor{#0087c1}{a}}{\textcolor{#0087c1}{a}} = 1) \\[0.8em] \ln{y} &= 2x + 1 &&| - 1 \\[0.8em] \ln{y} - 1 &= 2x &&| : 2 \\[0.8em] \frac{\ln{y} - 1}{2} &= x \\[0.8em] \frac{1}{2}(\ln{y} - 1) &= x &&| \; x \longleftrightarrow y \; \text{(Variablentausch)} \\[0.8em] y &= \frac{1}{2}(\ln{x} - 1) &&| \; y = f^{-1}(x) \\[0.8em] f^{-1}(x) &= \frac{1}{2}(\ln{x} - 1) \end{align*}\]

 

Alternative:

Zuerst die Variablen \(x\) und \(y\) tauschen und anschließend die Gleichung \(x = f(y)\) nach \(y\) auflösen.

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