Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist.
(3 BE)
Teilaufgabe 2b
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[h(x) = \textcolor{#0087c1}{\ln}\textcolor{#0087c1}{\bigg(} \textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{x^{2} + 1}} \textcolor{#0087c1}{\bigg)}; \; D_{h} = \mathbb R\]
Überlegung:
Die Wertemenge einer Funktion kann durch das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs und/oder die Existenz absoluter Extrema eingeschränkt sein.
Anstelle einer aufwendigen Untersuchung auf absolute Extrema, empfiehlt es sich im Fall der vorliegenden verketteten Funktion \(h\), von der Wertemenge der inneren Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto \dfrac{1}{x^{2} + 1}}\) auf die Wertemenge der streng monoton steigenden äußeren Funktion \(\textcolor{#0087c1}{x \mapsto \ln{x}}\) zu schließen.
Mögliche Begründung
Für alle \(x \in R\) nimmt der Nenner \(\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}\) alle Werte im Intervall \(\textcolor{#cc071e}{[1;+\infty[}\) an.
Somit nimmt der Bruch \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{x^{2} + 1}}\) alle Werte im Intervall \(\textcolor{#cc071e}{]0;1]}\) an.
Mit \(\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{x\,\to\,0}} \ln{x} = -\infty}\) und \(\textcolor{#0087c1}{\ln{\textcolor{#cc071e}{1}} = 0}\) sowie unter Berücksichtigung, dass \(\textcolor{#0087c1}{x \mapsto \ln{x}}\) streng monoton steigend ist, folgt:
![Verlauf des Graphen der Funktion x ↦ ln x im Intervall ]0;1]](/images/stories/B2021_PT_A_A1/B2021_PT_A_A1_2b.png)
Skizze optional
\[W_{h} =\; ]-\infty;0]\]
Alternative Begründung
Mit Untersuchung des Verhaltens von \(h\) an den Definitionsrändern (Verhalten im Unendlichen)
\[D_{h} = \mathbb R = \; ]\textcolor{#e9b509}{-\infty};\textcolor{#e9b509}{+\infty}[\]
\[\lim \limits_{\textcolor{#e9b509}{x\,\to\,\pm\infty}} h(x) = \lim \limits_{\textcolor{#e9b509}{x\,\to\,\pm\infty}} \ln \underbrace{\bigg( \frac{1}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{x^{2} + 1}_{\to\,+\infty}}} \bigg)}_{\to\,0^{+}} = -\infty\]
Für \(x \to 0\) nimmt die innere Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto \dfrac{1}{x^{2} + 1}}\) ihren maximalen Wert 1 an. Der Wert der streng monoton steigenden äußeren Funktion \(\textcolor{#0087c1}{x \mapsto \ln{x}}\) ist dann mit \(\textcolor{#0087c1}{\ln{1} = 0}\) ebenfalls maximal.
\[\Rightarrow \enspace W_{h} =\; ]-\infty;0]\]
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