Teilaufgabe 3a

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\).

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}; \; D_{f} = \mathbb R^{+}\]

\[F(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}}; D_{F} = \mathbb R^{+}\]

Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt.

\(F'\) lässt sich mithilfe der Quotientenregel, der Ableitung einer Wurzelfunktion, der Kettenregel sowie der Ableitung einer Potenzfunktion bilden.

Als Alternative formuliert man \(F(x)\) zunächst mithilfe der Potenzgesetze \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\) und \(a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}\) (vgl. Merkhilfe) vollständig in der Potenzschreibweise und wendet anschließend die Faktorregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion an.

 

1. Möglichkeit: Quotienregel anwenden

 

\[F(x) = -\frac{\textcolor{#0087c1}{2}}{\textcolor{#cc071e}{\sqrt{x}}}; D_{F} = \mathbb R^{+}\]

\[\begin{align*} F'(x) &= -\frac{\textcolor{#cc071e}{0} \cdot \textcolor{#0087c1}{\sqrt{x}} - \textcolor{#cc071e}{2} \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}}{\left( \textcolor{#0087c1}{\sqrt{x}} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{\textcolor{#e9b509}{x}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\textcolor{#e9b509}{x}} \cdot \sqrt{\textcolor{#e9b509}{x}}} &&| \; \sqrt{\textcolor{#e9b509}{m}} \cdot \sqrt{\textcolor{#e9b509}{n}} = \sqrt{\textcolor{#e9b509}{m} \cdot \textcolor{#e9b509}{n}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{\textcolor{#e9b509}{x^{3}}}} \\[0.8em] &= f(x)\end{align*}\]

 

\(\Rightarrow \enspace F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

 

2. Möglichkeit:  F(x) in der Potenzschreibweise formulieren

 

\[\begin{align*}F(x) &= -\frac{2}{\sqrt{x}} &&| \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= -\frac{2}{x^{\textcolor{#e9b509}{\frac{1}{2}}}} &&| \; \frac{1}{a^{\textcolor{#e9b509}{r}}} = a^{\textcolor{#e9b509}{-r}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= -2 \cdot x^{\textcolor{#e9b509}{-\frac{1}{2}}} \end{align*}\]

\[\begin{align*} F'(x) &=  -2 \cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} \\[0.8em] &= x^{\textcolor{#e9b509}{-\frac{3}{2}}} &&| \; a^{\textcolor{#e9b509}{-r}} = \frac{1}{a^{\textcolor{#e9b509}{r}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{x^{\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{2}}}} &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] & = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

\(\Rightarrow \enspace F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3b »

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