Teilaufgabe 3b

Der Graph von \(f\) schließt mit der \(x\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = b\) mit \(b > 1\) ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(b\), für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}; \; D_{f} = \mathbb R^{+}\)

\(F(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}}; D_{F} = \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe 3a)

 

Mit \(f(x) = \dfrac{1}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{x^{3}}}_{>\,0}}} \textcolor{#e9b509}{> 0}\) für alle \(x \in \mathbb R^{+}\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse.

Somit errechnet das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{b} f(x) dx\) die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, welches der Graph von \(f\) im Intervall \([1;b]\) (\(b > 1\)) mit der \(x\)-Achse einschließt. Der Inhalt des Flächenstücks soll 1 sein..

 

\[\int_{1}^{b} f(x) = 1\]

 

Analog zur Vorgehensweise für die Berechnung eines bestimmten Integrals, und unter Berücksichtigung der aus Teilaufgabe 3a bekannten Stammfunktion \(F(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\), lässt sich das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{b}f(x) dx\) integralfrei formulieren. Anschließend wird die Gleichung nach \(b\) aufgelöst.

\[\begin{align*} \int_{\textcolor{#0087c1}{1}}^{\textcolor{#cc071e}{b}} f(x) dx &= 1 \\[0.8em] F(\textcolor{#cc071e}{b}) - F(\textcolor{#0087c1}{1}) &= 1 &&| \; F(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}} \; \text{(vgl. Teilaufgabe 3a)} \\[0.8em] -\frac{2}{\sqrt{\textcolor{#cc071e}{b}}} - \left( -\frac{2}{\sqrt{\textcolor{#0087c1}{1}}} \right) &= 1 &&| \; \textcolor{#cc071e}{b > 1} \\[0.8em] -\frac{2}{\sqrt{\textcolor{#cc071e}{b}}} + 2 &= 1 &&| - 2 \\[0.8em] -\frac{2}{\sqrt{\textcolor{#cc071e}{b}}} &= -1 &&| \cdot (-\sqrt{\textcolor{#cc071e}{b}}) \\[0.8em] 2 &= \sqrt{\textcolor{#cc071e}{b}} && | \; (\dots)^{2}\; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] 4 &= \textcolor{#cc071e}{b} \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 4a »

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