Teilaufgabe 4b

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(Q_{a}\) wird mit \(t_{a}\) bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\[f(x) = \frac{1}{8}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Da die Tangente durch die Punkte \(P\) und \(Q_{a}\) verlaufen soll, gilt einerseits für deren Steigung:

 

\(m_{a} = \dfrac{a^{3} - 16}{8a}\) (vgl. Teilaufgabe 4a).

Andererseits ist die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an einer Stelle \(a \in \mathbb R\) gegeben durch \(f'(a)\).

 

\(\Rightarrow \enspace f'(a) = m_{a}\)

Die erste Ableitung von \(f(x) = \dfrac{1}{8}x^{3}\) ist \(f'(x) = \dfrac{3}{8}x^{2}\). Somit ergibt sich:

 

\[\begin{align*} f'(a) &= m_{a} &&| \; f'(x) = \frac{3}{8}x^{2} \\[0.8em] \frac{3}{8}a^{2} &= \frac{a^{3} - 16}{8a} &&| \cdot 8a \\[0.8em] 3a^{3} &= a^{3} - 16 &&| - a^{3} \\[0.8em] 2a^{3} &= -16 &&| : 2 \\[0.8em] a^{3} &= -8 &&| \; \sqrt[3]{(\dots)} \\[0.8em] a &= -2\end{align*}\]

 

Tangente an den Graphen von f durch den Punkt P(0|2) für a = -2

Für \(\textcolor{#cc071e}{a = -2}\) verläuft die Tangente \(\textcolor{#cc071e}{t_{a}}\) an den Graphen der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{8}x^{3}\) durch den Punkt \(P(0|2)\) (Zeichnung nicht verlangt).

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