Teilaufgabe 1b

Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{x - 2} + 1 &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= (x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1 \end{align*}\]

\[\begin{align*}  \end{align*}\]

\[\begin{align*} \int_{2}^{3}f(x)dx &= \int_{2}^{3} \left[(x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1\right]dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x}_{\text{Stammfunktion von}\;f}\bigg]_{\textcolor{#89ba17}{2}}^{\textcolor{#e9b509}{3}} \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(\textcolor{#e9b509}{3} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#e9b509}{3} - \left[ \frac{2}{3}(\textcolor{#89ba17}{2} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#89ba17}{2} \right] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 3 - 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{3} + 1 \\[0.8em] &= \frac{5}{3}\end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x)dx\).

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\) und

\(\displaystyle \textcolor{#89ba17}{\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\) und

\(\displaystyle \textcolor{#0087c1 }{\int c\,dx = cx + C}\)

ergibt sich:

\[\begin{align*} \int f(x)dx &= \int \left[\textcolor{#cc071e}{(}\textcolor{#89ba17}{x - 2}\textcolor{#cc071e}{)^{\frac{1}{2}}} + \textcolor{#0087c1}{1}\right]dx \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{1}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{(\textcolor{#89ba17}{x - 2})^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}} + \textcolor{#0087c1}{x} + C \\[0.8em] &= \frac{(x - 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + x + C \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x + C\end{align*}\]

 

Somit ist \(F(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f\) (für \(C = 0\)) und es folgt:

\[\begin{align*}  \end{align*}\]

\[\begin{align*} \int_{2}^{3}f(x)dx &= \int_{2}^{3} \left[(x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1\right]dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x}_{\text{Stammfunktion von}\;f}\bigg]_{\textcolor{#89ba17}{2}}^{\textcolor{#e9b509}{3}} \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(\textcolor{#e9b509}{3} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#e9b509}{3} - \left[ \frac{2}{3}(\textcolor{#89ba17}{2} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#89ba17}{2} \right] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 3 - 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{3} + 1 \\[0.8em] &= \frac{5}{3}\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 2a »

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