Teilaufgabe a

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und durch den Punkt \(A(2|0|0)\) verläuft. Der Punkt \(B\) liegt auf \(g\) so, dass die Geraden \(AB\) und \(h\) senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\).

(zur Kontrolle: \(B(-2|3|2)\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \;\lambda \in \mathbb R\]

\(h \parallel g\), \(A(2|0|0) \in h\), \(B \in g\), \(AB \perp h\)

 

Gerade g, Gerade h || g mit A(2|0|0) ∈ h, Gerade AB ⊥ h

Planskizze (optional): Der Punkt \(\textcolor{#cc071e}{B \in g}\) ist der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(\textcolor{#0087c1}{A}\) auf die Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\).

 

Drei mögliche Lösungsansätze für die Bestimmung der Koordinaten von \(B\):

 

1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden

Der Verbindungsvektor der Punkte A und B und der Richtungsvektor der Gerden g sind zueinander senkrecht (orthogonal).

Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}}\) und der Richtungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}\) der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) sind zueinander senkrecht (orthogonal). Folglich muss gelten:

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} \perp \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} \circ \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} = 0\]

 

Zunächst wird der Verbindungsvektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}}\) in Abhängigkeit des Parameters \(\textcolor{#cc071e}{\lambda}\) der Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) formuliert.

 

\[\textcolor{#cc071e}{B \in g \colon \overrightarrow{B}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}}, \;\lambda \in \mathbb R\]

\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\]

 

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{B}} - \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{A}} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}} - \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2\end{pmatrix}}\]

 

Wendet man nun das Skalarprodukt der orthogonalen Vektoren \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}\) an, so liefert die Lösung der Gleichung denjenigen Wert des Parameters \(\textcolor{#cc071e}{\lambda}\), der eingesetzt in die Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) den Ortsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{B}}\) ergibt.

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} \circ \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2\end{pmatrix}} \circ \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}} &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{(-1 + 3\lambda)} \cdot \textcolor{#cc071e}{3} + \textcolor{#e9b509}{(7 + 4\lambda)} \cdot \textcolor{#cc071e}{4} + \textcolor{#e9b509}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{0} &= 0 \\[0.8em] -3 + 9\lambda + 28 + 16\lambda &= 0 \\[0.8em] 25\lambda + 25 &= 0 &&| - 25 \\[0.8em] 25\lambda &= -25 &&| : 25 \\[0.8em] \lambda &= -1 \end{align*} \\[0.8em] \]

 

\[\textcolor{#cc071e}{B \in g \colon \overrightarrow{B}} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \cdot (-1) \\ 7 + 4 \cdot (-1) \\ 2 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{B(-2|3|2)}\]

 

2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen

Gerade g, Gerade h || g mit A(2|0|0) ∈ h, Hilfsebene H mit A ∈ H und g ⊥ H

Planskizze (optional): Die Hilfsebene \(\textcolor{#e9b509}{H}\) mit den Eigenschaften \(\textcolor{#0087c1}{A} \in \textcolor{#0087c1}{h}\) und \(\textcolor{#cc071e}{g} \perp \textcolor{#e9b509}{H}\) schneidet die Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{B}\) (Lotfußpunkt des Lotes von \(\textcolor{#0087c1}{A}\) auf \(\textcolor{#cc071e}{g}\)).

Der Richtungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}\) ist ein Normalenvektor der Hilfsebene \(\textcolor{#e9b509}{H}\). Der Punkt \(\textcolor{#0087c1}{A(2|0|0)}\) dient als Aufpunkt für eine Gleichung von \(\textcolor{#e9b509}{H}\) in Normalenform.

 

Gleichung der Hilfsebene \(\textcolor{#e9b509}{H}\) in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform) aufstellen:

(Ansatz mit Vektordarstellung oder Koordinatendarstellung möglich)

\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{H} \colon \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \Big( \overrightarrow{X} - \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{A}} \Big) &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \right] &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{3} \cdot (x_{1} - \textcolor{#0087c1}{2}) + \textcolor{#cc071e}{4} \cdot (x_{2} - \textcolor{#0087c1}{0}) + \textcolor{#cc071e}{0} \cdot (x_{3} - \textcolor{#0087c1}{0}) &= 0 \\[0.8em] 3x_{1} - 6 + 4x_{2} &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{H} \colon 3x_{1} + 4x_{2} - 6 &= 0\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{H} \colon \textcolor{#cc071e}{n_{1}}x_{1} + \textcolor{#cc071e}{n_{2}}x_{2} + \textcolor{#cc071e}{n_{3}}x_{3} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{3} \cdot x_{1} + \textcolor{#cc071e}{4} \cdot x_{2} + \textcolor{#cc071e}{0} \cdot x_{3} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{3}x_{1} + \textcolor{#cc071e}{4}x_{2} + n_{0} &= 0\end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A(2|0|0)} \in \textcolor{#e9b509}{H} \colon \textcolor{#cc071e}{3} \cdot \textcolor{#0087c1}{2} + \textcolor{#cc071e}{4} \cdot \textcolor{#0087c1}{0} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 6 + n_{0} &= 0 &&| - 6 \\[0.8em] n_{0} &= -6\end{align*}\]

 

\[\Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{H} \colon 3x_{1} + 4x_{2} - 6 = 0\]

 

Schnittpunkt \(\textcolor{#cc071e}{B}\) der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) und der Hilfsebene \(\textcolor{#e9b509}{H}\) bestimmen:

Hierfür werden Die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) in die Gleichung der Hilfsebene \(\textcolor{#e9b509}{H}\) eingesetzt und diese nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.

 

\[\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}}, \;\lambda \in \mathbb R\]

\[\textcolor{#e9b509}{H} \colon 3x_{1} + 4x_{2} - 6 = 0\]

 

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{g} \cap \textcolor{#e9b509}{H} \colon 3 \cdot \textcolor{#cc071e}{(1 + 3\lambda)} + 4 \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 + 4\lambda)} - 6 &= 0 \\[0.8em] 3 + 9\lambda + 28 + 16\lambda - 6 &= 0 \\[0.8em] 25\lambda + 25 &= 0 &&| - 25 \\[0.8em] 25\lambda &= -25 &&| : 25 \\[0.8em] \lambda &= -1 \end{align*}\]

 

Durch Einsetzen des Parameterwerts \(\lambda = -1\) in die Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) erhält man den Ortsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{B}}\).

 

\[\textcolor{#cc071e}{B \in g \colon \overrightarrow{B}} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \cdot (-1) \\ 7 + 4 \cdot (-1) \\ 2 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{B(-2|3|2)}\]

 

3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden

Länge der Strecke [AX] zwischen Punkt A ∈ h und einem beliebigen Punkt X ∈ g

Planskizze (optional): Die Länge der Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[AX]}\) zwischen dem Punkt \(\textcolor{#0087c1}{A \in h}\) und einem beliebigen Punkt \(\textcolor{#cc071e}{X \in g}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\textcolor{#cc071e}{\lambda}\) der Geradengleichung von \(\textcolor{#cc071e}{g}\) formulieren.

Die notwendige Bedingung für die kürzeste Strecke\(\textcolor{#e9b509}{[AX]}\) (Lot von \(\textcolor{#0087c1}{A}\) auf \(\textcolor{#cc071e}{g}\)) lautet \(\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda) = 0}\). Die Lösung der Gleichung liefert denjenigen Wert des Parameters \(\textcolor{#cc071e}{\lambda}\), der eingesetzt in die Gleichung von \(\textcolor{#cc071e}{g}\) den Ortsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{B}}\) ergibt.

 

Verbindungsvektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AX}}\) formulieren:

 

\[\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}}, \;\lambda \in \mathbb R\]

\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\]

 

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AX}} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{X}} - \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{A}} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}} - \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}}\]

 

Länge der Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[AX]}\) beschreiben:

\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overline{AX}(\lambda)} &= \vert \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AX}} \vert = \left| \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -1 + 3\lambda \\ 7 + 4\lambda \\ 2 \end{pmatrix}} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(\textcolor{#e9b509}{-1 + 3\lambda})^{2} + (\textcolor{#e9b509}{4 + 7\lambda})^{2} + \textcolor{#e9b509}{2}^{2}} &&| \; \text{1. Binom. Formel} \\[0.8em] &= \sqrt{1 - 6\lambda + 9\lambda^{2} + 49 + 56\lambda + 16\lambda^{2} + 4} \\[0.8em] &= \sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda + 54} \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda)}\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Wurzelfunktion, die Kettenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt. Als Alternative formuliert man \(\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}(\lambda)}\) mithilfe des Potenzgesetzes \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\) (vgl. Merkhilfe) in der Potenzschreibweise und wendet die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Kettenregel an.

 

\[\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}(\lambda)} = \sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda + 54} = (25\lambda^{2} + 50\lambda + 54)^{\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda)} &= \frac{1}{2\sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda + 54}} \cdot (50\lambda + 50) \\[0.8em] &= \frac{50\lambda + 50}{2\sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda + 54}}\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda)} &= \frac{1}{2}(25\lambda^{2} + 50\lambda + 54)^{-\frac{1}{2}} \cdot (50\lambda + 50) &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] &= \frac{50\lambda + 50}{2\sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda +54}}\end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung \(\textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda) = 0}\) für die kürzeste Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[AX]}\) formulieren:

 

\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overline{AX}'(\lambda)} &\textcolor{#e9b509}{=} \textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] \frac{50\lambda + 50}{2\sqrt{25\lambda^{2} + 50\lambda + 54}} &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace 50\lambda + 50 &= 0 &&| - 50 \\[0.8em] 50\lambda &= -50 &&| : 50 \\[0.8em] \lambda &= -1\end{align*}\]

 

Durch Einsetzen des Parameterwerts \(\lambda = -1\) in die Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) erhält man den Ortsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{B}}\).

 

\[\textcolor{#cc071e}{B \in g \colon \overrightarrow{B}} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \cdot (-1) \\ 7 + 4 \cdot (-1) \\ 2 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{B(-2|3|2)}\]

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