Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}\]

\[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\} = \;]-\infty;-2[\; \cup \; ]-2;2[\; \cup\; ]2;+\infty[\]

 

Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\)

Gemäß dem Monotoniekriterium lässt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) auf das Monotonieverhalten von \(f\) schließen.

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die gebrochenrationale Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{6x}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 4}}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{6} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x^{2} - 4)} - \textcolor{#0087c1}{6x} \cdot \textcolor{#cc071e}{(2x - 0)}}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 4})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{2} - 24 - 12x^{2}}{(x^{2} - 4)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-6x^{2} - 24}{(x^{2} - 4)^{2}} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{-}\frac{\textcolor{#e9b509}{\overbrace{\textcolor{#333333}{6(x^{2} + 4)}}^{>\;0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\textcolor{#333333}{(x^{2} - 4)^{2}}}_{>\,0}}} \textcolor{#e9b509}{<} 0 \end{align*}\]

 

Für alle \(x \in \mathbb R \backslash \{-2;2\}\) gilt \(\textcolor{#e9b509}{f'(x) < 0}\). Somit ist \(G_{f}\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) jeweils streng monoton fallend.

 

Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\)

Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 0}\) beschreibt die Steigung \(m\) der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((\textcolor{#e9b509}{0}|f(0))\).

\[f'(x) = -\frac{6(x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\]

 

\[m = f'(\textcolor{#e9b509}{0}) = -\frac{6(\textcolor{#e9b509}{0}^{2} + 4)}{(\textcolor{#e9b509}{0}^{2} - 4)^{2}} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\]

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