Teilaufgabe 2b

Begründen Sie: Wenn \(a = 0\) und \(b \neq 0\) gilt, dann ist der Graph von \(f_{a,b,c}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[f_{a,b,c}(x) = \frac{ax + b}{x^{2} + c}; \; a,b,c \in \mathbb R\]

 

Für \(a = 0\) ergibt sich die Funktion \(f_{0,b,c}\) zu:

 

\[f_{0,b,c}(x) = \frac{b}{x^{2} + c}\]

 

Begründung, weshalb der Graph von \(f_{0,b,c}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist

\[f_{0.b.c}(\textcolor{#e9b509}{-x}) = \frac{b}{(\textcolor{#e9b509}{-x})^{2} + c} = \frac{b}{x^{2} + c} = f_{0,b,c}(x)\]

 

\(\Rightarrow \enspace\) Der Graph von \(f_{0,b,c}\) ist symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse.

 

Begründung, weshalb der Graph von \(f_{0,b,c}\) für \(b \neq 0\) die \(x\)-Achse nicht schneidet

Ein Bruch ist gleich null, wenn der Zähler gleich null ist.

 

\[\textcolor{#0087c1}{b \neq 0} \enspace \Rightarrow \enspace f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} + c} \textcolor{#0087c1}{\neq 0}\]

 

Da der Zähler von \(f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} + c}\) für \(\textcolor{#0087c1}{b \neq 0}\) nicht null werden kann, hat \(f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}\) für alle \(x \in D_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}\) keine Nullstelle. Folglich schneidet der Graph von \(f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}\) die \(x\)-Achse nicht.

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