Teilaufgabe 2d

Für die erste Ableitung von \(f_{a,b,c}\) gilt: \(f'_{a,b,c}(x) = -\dfrac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\).

Zeigen Sie: Wenn \(a \neq 0\) und \(c > 0\) gilt, dann besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

\[f'_{a,b,c}(x) = -\frac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\]

Der Graph von \(f_{a,b,c}\) besitzt genau zwei Extrempunkte, wenn \(\boldsymbol{f'_{a,b,c}}\) genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies ist dann der Fall, wenn die quadratische Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{a}x^{2} + 2bx - ac = 0\) mit \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) zwei Lösungen hat.

 

\[f'{a,b,c}(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace ax^{2} + 2bx - ac = 0; \; \textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\]

 

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(\boldsymbol{D}\) positiv ist.

\[D = (2b)^{2} - 4 \cdot a \cdot (-ac) = 4b^{2} + 4a^{2}c\]

 

Für \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) gilt:

 

\[D = \underbrace{4b^{2}}_{>\,0} + \underbrace{4\textcolor{#cc071e}{a}^{2}\textcolor{#e9b509}{c}}_{>\,0} > 0\]

 

Mit \(\boldsymbol{D > 0}\) besitzt die quadratische Gleichung \(ax^{2} + 2bx - ac = 0\) für \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) zwei Lösungen. Und da \(f_{a,b,c}\) mit \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) in \(\mathbb R\) definiert ist (vgl. Teilaufgabe 2c), besitzt somit \(\boldsymbol{f'_{a,b,c}}\) genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.

Also besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte, wenn \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) gilt.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c Teilaufgabe 3a »