Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\) lautet:

 

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Produktregel, die Kettenregel, die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion benötigt.

 

\[f(x) = \textcolor{#0087c1}{(1 - x^{2})} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-x}}\]

\[\begin{align*}f'(x) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{(0 - 2x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-x}} + \textcolor{#0087c1}{(1 - x^{2})} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-x} \cdot (-1)}}^{\text{Kettenregel}}}_{\text{Produktregel}} &&| \; e^{-x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{-x} \cdot (-2x - (1 - x^{2})) \\[0.8em] &= (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f'\) bestimmen:

 

\[f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-x}}_{>\,0}}\]

 

Graphen der Funktionen x ↦ eˣ und x ↦ e¯ˣ(Skizze nicht verlangt) 

Da der Wert des Exponetialterms \(\textcolor{#e9b509}{e^{-x}}\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer als null ist folgt:

 

\[f'(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x^{2} - 2x - 1 = 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\[0.8em] &= \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\[0.8em] &= 1 \pm \sqrt{2}\end{align*}\]

 

Weil \(x_{1} = 1 - \sqrt{2}\) und \(x_{2} = 1 + \sqrt{2}\) einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von \(f'\) sind, sind diese die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). Die Abbildung zu Aufgabe 1 bestätigt das Ergebnis.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »