Teilaufgabe 1e

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)

Die Skizze sollte mindestens berücksichtigen, dass

• \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt von \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) ist (vgl. Teilaufgabe 1d),
• der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{(1|F(1))}\) mit \(\textcolor{#e9b509}{F(1) \approx 3{,}5}\) ein Hochpunkt von \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) ist und
• \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) sich wegen \(\textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}F(x) = 2}\) für \(x \to +\infty\) der waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#e9b509}{y = 2}\) annähert.

Die Skizze sollte zudem qualitativ zeigen, dass die Extremstellen von \(\boldsymbol{G_{f}}\) die Wendestellen von \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) sind.

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Verlauf von \(G_{F}\) an den Nullstellen von \(G_{f}\)

Betrachtung der Nullstelle \(x = -1\) von \(G_{f}\)

Aus Teilaufgabe 1d ist bekannt, dass \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) den Tiefpunkt \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) besitzt (Begründung vgl. Teilaufgabe 1d).

 

Betrachtung der Nullstelle \(x = 1\) von \(G_{f}\)

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\).

Mit \(f(1) = \boldsymbol{F'(1) = 0}\) bedeutet die Nullstelle \(x = 1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = 1\) eine waagrechte Tangente hat.

Der Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{G_{f}}\) an der Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\) von \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) bedeutet nach dem Monotoniekriterium, dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = 1\) das Monotonieverhalten von streng monoton steigend \((\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0})\) zu streng monoton fallend \((\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0})\) wechselt.

Also ist der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{H(1|(F(1))}\) mit \(\textcolor{#e9b509}{F(1) \approx 3{,}5}\) (vgl. Angabe) Hochpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\).

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x < 1 \\ &f(1) = F'(1) = 0 \\ &\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x > 1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Hochpunkt} \; H\,(1|(F(1))}\]

 

Verlauf von \(G_{F}\) an den Extremstellen von \(G_{f}\)

Die Extremstellen \(x \approx -0{,}4\) und \(x \approx 2{,}4\) von \(G_{f}\) sind Wendestellen von \(G_{F}\).

An den Extremstellen besitzt \(G_{f}\) je eine waagrechte Tangente. Das heißt, es gilt \(f'(-0{,}4) = \boldsymbol{F''(-0{,}4) \approx 0}\) bzw. \(f'(2{,}4) = \boldsymbol{F''(2{,}4) \approx 0}\).

Im Hochpunkt \(\boldsymbol{H}\) wechselt \(\boldsymbol{G_{f}}\) das Monotonieverhalten von

streng Monoton steigend \((\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0})\) zu streng monoton fallend \((\textcolor{#cc071e}{f'(x)  < 0})\)

und im Tiefpunkt \(\boldsymbol{T}\) wechselt \(\boldsymbol{G_{f}}\) das Monotonieverhalten von

streng monoton fallend \((\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0})\) zu streng monoton steigend \((\textcolor{#0087c1}{f'{x} > 0})\).

Mit \(f'(x) = F''(x)\) bedeutet der Wechsel des Monotonieverhaltens von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) das Krümmungsverhalten von

linksgekrümmt \((\textcolor{#0087c1}{f'(x) = F''(x) > 0})\) zu rechtsgekrümmt \((\textcolor{#cc071e}{f'(x) = F''(x) < 0})\) bzw. von

rechtsgekrümmt \((\textcolor{#cc071e}{f'(x) = F''(x) < 0})\) zu linksgekrümmt \((\textcolor{#0087c1}{f'(x) = F''(x) > 0})\) wechselt.

Also hat \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) an den Extremstellen von \(G_{f}\) je einen Wendepunkt.

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#0087c1}{f'(x) = F''(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x \lessapprox -0{,}4 \\ &f'(-0{,}4) = F''(-0{,}4) \approx 0 \\ &\textcolor{#cc071e}{f'(x) = F''(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x \gtrapprox -0{,}4 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Wendepunkt} \; W_{1}}\]

 

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{f'(x) = F''(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x \lessapprox 2{,}4 \\ &f'(2{,}4) = F''(2{,}4) \approx 0 \\ &\textcolor{#0087c1}{f'(x) = F''(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x \gtrapprox 2{,}4 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Wendepunkt} \; W_{2}}\]

 

Verlauf von \(G_{F}\) für \(x \to +\infty\)

Es gilt \(\textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}F(x) = 2}\) (vgl. Angabe). Das bedeutet, dass sich der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) für \(x \to +\infty\) der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#e9b509}{y = 2}\) annähert.

 

Verlauf von \(G_{F}\) für \(x \to -\infty\)

Für \(x \to -\infty\) strebt der Graph von \(G_{f}\) schnell gegen \(\textcolor{#cc071e}{-\infty}\). Mit \(f(x) = F'(x)\) folgt:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x) = \textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}F'(x)} = \textcolor{#cc071e}{-\infty}\]

Das bedeutet, dass die Steigung von \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) für \(x \to -\infty\) beliebig negativ wird, während \(\textcolor{#e9b509}{G_{F}}\) schnell gegen \(\textcolor{#e9b509}{+\infty}\) strebt.

 

Zusammenfassung

 

Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) mit Extrem- und Wendepunkten sowie der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#e9b509}{y = 2}\)