Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher betrachtetet Funktion \(f\).
Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Nullstellen von \(h_{k}\) an.
(2 BE)
\[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\]
\(k \leq 0\): keine Nullstelle
\(k > 0\): zwei Nullstellen
\[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-x}}_{>\,0}}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\]
(Skizze nicht verlangt)
Da der Wert des Exponetialterms \(\textcolor{#e9b509}{e^{-x}}\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer als null ist, folgt:
\[h_{k}(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace 1 - kx^{2} = 0\]
Für \(k \textcolor{#cc071e}{<} 0\) folgt \(1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{kx^{2}}_{<\,0}} > 0\) und
für \(k = 0\) folgt \(1 \neq 0\).
Somit hat \(h_{k}\) für \(k \leq 0\) keine Nullstelle.
Für \(k > 0\) ergibt sich:
\[\begin{align*}1 - kx^{2} &= 0 &&| + kx^{2} \\[0.8em] 1 &= kx^{2} &&| : k \\[0.8em] \frac{1}{k} &= x^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm\sqrt{\frac{1}{k}} &= x_{1,2}\end{align*}\]
Somit hat \(h_{k}\) für \(k > 0\) zwei Nullstellen.
