Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher betrachtetet Funktion \(f\).
Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Nullstellen von \(h_{k}\) an.
(2 BE)
\[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\]
\(k \leq 0\): keine Nullstelle
\(k > 0\): zwei Nullstellen
\[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-x}}_{>\,0}}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\]
(Skizze nicht verlangt)
Da der Wert des Exponetialterms \(\textcolor{#e9b509}{e^{-x}}\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer als null ist, folgt:
\[h_{k}(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace 1 - kx^{2} = 0\]
Für \(k \textcolor{#cc071e}{<} 0\) folgt \(1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{kx^{2}}_{<\,0}} > 0\) und
für \(k = 0\) folgt \(1 \neq 0\).
Somit hat \(h_{k}\) für \(k \leq 0\) keine Nullstelle.
Für \(k > 0\) ergibt sich:
\[\begin{align*}1 - kx^{2} &= 0 &&| + kx^{2} \\[0.8em] 1 &= kx^{2} &&| : k \\[0.8em] \frac{1}{k} &= x^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm\sqrt{\frac{1}{k}} &= x_{1,2}\end{align*}\]
Somit hat \(h_{k}\) für \(k > 0\) zwei Nullstellen.
Wegen der Corona Pandemie sind einige Inhalte für die schriftliche Mathematik Abiturprüfung 2022 nicht prüfungsrelevant.
„Dass für das schriftliche Abitur 2022 die jeweils genannten Lehrplaninhalte nicht prüfungsrelevant sind, bedeutet nicht, dass diese Inhalte im Unterricht nicht zu behandeln sind, sie können ggf. auch zum Gegenstand kleiner und großer Leistungsnachweise gemacht werden." (Zitat ISB)
Mathematik Abitur 2022 - nicht prüfungsrelevant
Entsprechendes gilt für andere Prüfungsfächer:
Alle Fächer Abitur 2022 - nicht prüfungsrelevant
* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München
