Teilaufgabe 1h

Für einen bestimmten Wert von \(k\) besitzt \(G_{k}\) zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1h

 

\[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\]

 

Für \(k > 0\) ergeben sich die Nullstellen von \(h_{k}\) wie folgt (vgl. Begründung Teilaufgabe 1g):

 

\[\begin{align*}1 - kx^{2} &= 0 &&| + kx^{2} \\[0.8em] 1 &= kx^{2} &&| : k \\[0.8em] \frac{1}{k} &= x^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{\pm}\sqrt{\frac{1}{k}} &= x_{1,2}\end{align*}\]

 

Abstand d der Nullstellen der Funktion h_k für k > 0

Da die beiden Nullstellen \(x_{1} = \textcolor{#e9b509}{-}\sqrt{\dfrac{1}{k}}\) und \(x_{2} = \textcolor{#e9b509}{+}\sqrt{\dfrac{1}{k}}\) symmetrisch bezüglich der \(\textcolor{#e9b509}{y}\)-Achse liegen, gilt für deren Abstand \(d\):

 

\[d = \textcolor{#e9b509}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{k}}\]

 

Wert des Parameters \(k\) für \(d = 4\) berechnen:

 

\[\begin{align*}d &= 4 \\[0.8em] 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{k}} &= 4 &&| : 2 \\[0.8em] \sqrt{\frac{1}{k}} &= 2 &&| \; (\dots)^{2}\;\text{Quadrieren} \\[0.8em] \frac{1}{k} &= 4 &&| \cdot k \\[0.8em] 1 &= 4k &&| : 4 \\[0.8em] \frac{1}{4} &= k\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1g Teilaufgabe 1i »