Teilaufgabe b

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Ebene F, welche die Punkte A, B₂ und S festlegen

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SB}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SB}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(F\). Als Aufpunkt wählt man einen der Punkte \(A\), \(B\) oder \(S\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform).

Die Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SB}}\) sollten aus Teilaufgabe a bekannt sein. Andernfalls werden sie wie folgt bestimmt:

\(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(S(0|0|1)\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SB}} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(F\) ermitteln:

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SB}} &= \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}} \times \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & 6 \\ 3 & \cdot & 0 & - & 6 & \cdot & 3 \\ 6 & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -18 \\ -18 \\ 36 \end{pmatrix} = (-18) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(F\).

 

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(\textcolor{#cc071e}{S(0|0|1)}\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}F \colon &\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \circ (\overrightarrow{X} - \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{S})} = 0 \\[0.8em] F \colon &\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right] = 0 \\[0.8em] &\,\textcolor{#0087c1}{1} \cdot (x_{1} - \textcolor{#cc071e}{0}) + \textcolor{#0087c1}{1} \cdot (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{0}) + \textcolor{#0087c1}{(-2)} \cdot (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{1}) = 0 \\[0.8em]   F \colon\, &x_{1} + x_{2} -2x_{3} + 2 = 0  \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}}\), \(\textcolor{#cc071e}{S(0|0|1)}\)

 

\[\begin{align*} &F \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &F \colon \textcolor{#0087c1}{1} \cdot x_{1} + \textcolor{#0087c1}{1} \cdot x_{2} + \textcolor{#0087c1}{(-2)} \cdot x_{3} + n_{0} = 0\\[0.8em] &F\colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{S} \in F \colon \textcolor{#cc071e}{0} + \textcolor{#cc071e}{0} - 2 \cdot \textcolor{#cc071e}{1} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] -2 + n_{0} &= 0 &&| + 2 \\[0.8em] n_{0} &= 2 \end{align*}\]

 

\[\Rightarrow \enspace F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe a Teilaufgabe c »