Teilaufgabe b

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Gleichung von \(W\) in Koordinatenform

Dreieck ABF, Ebene W, Verbindungsvektoren der Punkte F und A sowie F und B 

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(W\). Als Aufpunkt wählt man einen der Punkte \(A\), \(B\) oder \(F\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(W\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(W\) in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform).

Die Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) sollten aus Teilaufgabe a bekannt sein. Andernfalls werden sie wie folgt bestimmt:

\(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(F(0|2|4)\)

 

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(W\) ermitteln:

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}} &= \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}} \times \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-5) & - & 5 & \cdot & (-4) \\ 5 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-5) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix} = 10 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(W\).

 

Gleichung der Ebene \(W\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(\textcolor{#cc071e}{A(5|5|0)}\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}W \colon &\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \circ (\overrightarrow{X} - \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{A})} = 0 \\[0.8em] W \colon &\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}} \right] = 0 \\[0.8em] &\,\textcolor{#0087c1}{0} \cdot (x_{1} - \textcolor{#cc071e}{5}) + \textcolor{#0087c1}{4} \cdot (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{5}) + \textcolor{#0087c1}{3} \cdot (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{0}) = 0 \\[0.8em] W \colon\, &4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0 \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}}\), \(\textcolor{#cc071e}{A(5|5|0)}\)

 

\[\begin{align*} &W \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &W \colon \textcolor{#0087c1}{0} \cdot x_{1} + \textcolor{#0087c1}{4} \cdot x_{2} + \textcolor{#0087c1}{3} \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &W \colon 4x_{2} + 3x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{A} \in W \colon 4 \cdot \textcolor{#cc071e}{5} + 3 \cdot \textcolor{#cc071e}{0} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 20 + n_{0} &= 0 &&| - 20 \\[0.8em] n_{0} &= -20 \end{align*}\]

 

\[\Rightarrow \enspace W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\]

 

Beschreibung der besonderen Lage von \(W\) im Koordinatensystem

Da die \(x_{1}\)-Koordinate des Normalenvektors \(\textcolor{#0087c1}{n = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}}\) gleich null ist, liegt die Ebene \(W\) parallel zur \(x_{1}\)-Achse. 

Ebene W parallel zur x₁-Achse

Ebene \(W\) parallel zur \(x_{1}\)-Achse

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe a Teilaufgabe c »

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.